Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
^1120 = _4_ ^3(ВЙо130 4“ <**^1021 Ч------------~ ^2110 Ч-----jjj” ^3001^ J
2/1120 = (------- 3(Й2/іоозі 4“ ^1120 -- ^2011 Ч- "д^^ЗМО^ і
^1102 = ~~?- (ЗС|Л1ПП3 4- (ОЛ.0112 Ч-----------~ ^1201 Ч “ ^0310j 1
2/ног = — (— 3(d2/j0oi3 Ч- ^0211 — ^1102 Ч~ ¦^г'А'їзоо) • (4.2)
Пусть величины А = 2 Vк\т2 Ч~ 4т > В = 2 V к2П20 Ч- і?120 и С —
= 2к\т + 1Ъ1Ш отличны от нуля. Определим углы 0Ъ 02 и 03 при ПОМОЩИ соотношений
¦ ОД 2fc2002 „¦ д 21112о . д 2111о2
Sin Zux — —-д , Sin Иг —------------------|j , sin 03 = g— ,
о a 2*2002 a 2/fii2o а 2/Сіі02
cos 20! ---------— , cos 02 = - ™ , COS 03 = - ? -.
80
АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[ГЛ. 4
Тогда функцию Гамильтона (4.1) можно записать в следующем более компактном виде:
Я = со (гх — г2) + сыг\ + + с02г2 +Агхгъ sin 2 (фх + ф2 + 0Х) +
+ Brx Yrxr2 sin (фх + ф2 + 02) +
+ Сг2 YГіГ2 sin (фх+ Ф2+ 03) + О ((гх+ г2)5'г). (4.3)
Как и в предыдущем параграфе, при помощи интеграла Я = h = = const понизим порядок изучаемой системы на две единицы. Так как движение рассматривается в достаточно малой окрестности начала координат, то можно считать, что гх, г2 — е, где
0 < є <§^1. Кроме того, считаем, что h ~ еа (а ;> 5/2), что возможно, так как функция Я не является знакоопределенной. Разрешив уравнение Я = h относительно г2, введя вместо фх новый
угол ф = фг + ф2 + 01 и обозначив еще гх через г, найдем, что
полученной системе с одной степенью свободы будет соответствовать функция Гамильтона
К = г2 (а + Ъ sin 2ф + с sin ф + d cos ф) + К* (г, ф, ф2, К), (4.4)
где К* — 2я-периодическая по ф и новой независимой переменной ф2 функция, К* = О (г/г) и
а =-----— (с20 -f- Сц -f- с02), с — — [В cos (02—0i)+C cos (0з—0i)]>
(4.5)
b =-----У A, d =-[B sin (02—0X) + С sin (03—0i)].
Переменная ф2 — монотонная функция времени в достаточно малой окрестности начала координат, поэтому она в задаче об устойчивости может играть роль времени. Как видим, анализ совершенно аналогичен исследованию устойчивости при резонансах (ох = 2со2 и Bj = 3(02, проведенному в предыдущих параграфах. Теорема. Если функция
Ф (ф) = а + Ъ sin 2ф + с sin ф + d cos ф
не обращается в нуль при вещественных ф, то положение равновесия устойчиво по Ляпунову. Если же существует ф* такое, что ф (ф*) == 0, а производная Ф' (ф*) Ф 0, то положение равновесия Яі = Pi = 0 неустойчиво.
Доказательство устойчивости проводится, как в предыдущем параграфе. Переменные I, W здесь вводятся при помощи производящей функции S вида
ф 2Я
*L=-, м=\-7^=. м oVa>(q>) J /ф(ф)
СЛУЧАЙ РАВНЫХ ЧАСТОТ
81
Интеграл М существует при условиях теоремы. Положительности Ф (ф) можно добиться изменением знака ф2 в гамильтониане (4.4).
Функция К —К* в переменных I, W равна-gj/2. Дальнейшие
рассмотрения, как и в предыдущем параграфе, основаны на применении теоремы Мозера об инвариантных кривых.
Теперь докажем неустойчивость. Заметим, что из периодичности функции Ф (ф) и из того, что Ф' (ф*) ф 0, следует, что если уравнение Ф (ф) = 0 имеет вещественные корни, то их по крайней мере два, причем знаки производной Ф' (ф) в точках ф, соответствующих корням, различны. Пусть корень ф* такой, что Ф' (ф*) < < 0. Для доказательства неустойчивости возьмем функцию Че-< таева V в виде
F = r2sini|), 'Ф =-^-(ф — ф* + б), (4.6)
где достаточно малое число б подберем так, чтобы в окрестности ф* — б < Ф < Ф* + б не было других корней функции Ф (ф),
а производная Ф' (ф) сохраняла в этой окрестности знак. За об-
ласть V > 0 возьмем область ф* — б < ф < ф* + о. Для производной функции V в силу уравнений движения с гамильтонианом (4.4) получаем такое выражение:
= 2г3 |ф (ф) cos г|э — Ф' (ф) sin г|э} + О (г7/*), (4.7)
а эта функция в области V 0 будет положительной, так как в области V 0 Ф'(ф) < 0 и sini|5> 0, а при ф* — б <; ф < ф* функция Ф (ф) 0 и cosi|) ]> 0, при ф* < ф < ф* + б функ-
ция Ф (ф) < 0, но и cos ^ < 0, причем выражение, стоящее в фигурных скобках, не обращается в нуль ни в области F>0, ни на ее границе. Таким образом, согласно теореме Четаева, имеет место неустойчивость.
Задача об устойчивости в случае, когда матрица линеаризованной системы (1.1) не приводится к диагональной форме, значительно сложнее. Трудность исследования состоит в том, что даже в линейном приближении переменные, соответствующие разным степеням свободы, не разделяются. Поэтому не удается свести исследуемую систему с двумя степенями свободы к системе с одной степенью свободы, как это было в том случае, когда матрица линейной части системы (1.1) приводилась к диагональной форме. Кроме того, весьма существенно, что, в отличие от предыдущего случая и от всех исследованных в этой главе случаев устойчивости, линеаризованная система (1.1) неустойчива из-за наличия в общем решении слагаемых вида t sincof. Учет же нелинейных членов в уравнениях движения может привести как к устойчивости, так и к неустойчивости полной системы [50].
82 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. 4
В работах [86, 87] показано, что в рассматриваемом случав существует вещественная линейная каноническая замена переменных, приводящая функцию Гамильтона системы (1.1) к такому виду (обозначения для переменных оставляем прежними):
