Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
[Xl (2л) - etvAn фу (0) + (2л) г|)у (0) = 0,
Уі (2л) фу (0) + ІУі (2я) — еізпКі] гру (0) = О
(І = 1, 2). (4.8)
Определители этих систем равны нулю, так как е'гпХі — мультипликаторы линеаризованной системы (3.1). Решения систем (4.8) можно записать в виде
фj (0) = — Хг (2л)су,
Ь (0) = f*i (2л) - е,2П^]Су,
(^-9)
где С] — произвольные постоянные. Возьмем их вещественными и равными с. Тогда <рх (0) = ф2 (0), ^ (0) = г|)2 (0). Из (4.3) и
(4.9) получаем начальные значения функций Zy
Zi (0) = —ха (2л)с, z2 (0)= 0, ,
z3 (0) = fxj (2л) — cos 2л%]с, z4 (0) = sin 2л%-с.
Полагая постоянную в (4.7) равной единице, получаем уравнение для определения с
sin 2лА,-:гг (2л)с* =1. (4.11)
Легко проверить, рассмотрев характеристическое уравнение, что величина sin 2лк'Хг (2л) Ф 0, так как устойчивость исследуется внутри области устойчивости линеаризованной системы (3.1). Выбором знака К (который до сих пор был не определенным) эту величину можно получить положительной. Поэтому уравнение
(4.11) всегда имеет вещественное решение относительно с.
Таким образом, искомое каноническое преобразование найдено, и в переменных <7, р функция Гамильтона такова:
ОО
H = ±X(q^ + p^)+yHlc(q,p,t), (4.12)
к—з
где
Я* = 21 *v,v,(*)9v7>v,ss 2j OM^At)i.ziP — zlq)'lt(zxp — ziq)'1
vi+Vi=k v,+v,=k
62 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. 3
§ 5. Неустойчивость в случае целого числа ЗА,
К функции Гамильтона (4.12) теперь легко применить преобразование Биркгофа. Введем канонические переменные q*, р* при помощи 2л-периодической по t, производящей функции
s = qp* + S(3) == qp* + 21 SviVj(t) qv,p*v*. (5.1)
vi+v,=3
Связь новых и старых переменных получается из формул
* dS . dS(3) dS * , dSw .. оч
= ^ = + Р = ~дї = Р* + ~дГ- (5-2)
Новая функция Гамильтона Н* (q*, р*, t), старая функция Гамильтона Н (q, р, t) и производящая функция S (q, р*, t) связаны тождеством относительно q, р*;
нЧ§Р’Р'-‘)=н(*-Щ-’‘)+??Ч?-- p-з)
Если число ЗА, не будет целым, то в новой функции Гамильтона можно полностью уничтожить члены третьей степени. Проведя несложные выкладки, получим, что для этого 2л-периодические функции sVlVz (t) следует взять такими:
*80 = 2 (М;о + ми), S03 = 2 (Vw - V'a),
Si2 = 2 (и’21 - 3u30), «и = — 2 (3v'30 + v'21);
HV<V, = Aw,(0 Sin X (V2 — Vl) 1 + (*) C0S K (V2 — Vl)
cos 1 (va - vi)1 — S,At) sin A (v2 — Vi) f;
(5.4)
(5.5)
/v,v, (t) = у Ctg яА (v2 — Vi) /і (2л) + у /2 (2я) — /2 (0,
ffv.v, (t) = — у ctg яА (v2 — vi) /2 (2л) + у Л (2я) — Jі (*), І
Jx(t) = 5 K,v. cos ^ (Va — vi)х ~~ uv,v, (х)sin Х (v2 — Vl) a:] dx,
О
t
Л (*) = 5 K,v, sin % (Va — vi) ^ + uv,v2 (x)cos X (v2 — Vl) a] da:;
0
1 1 «30 = "g" (Аяо — ^12)1 У30= g- (Лоз — Л.2г)>
„1 „1 (5-6> M21 = *g” (3/^30 + ^12)1 ^ — — 'д'(ЗЛ.0з -(- fo2i).
Из тождества (5.3) при таком выборе получаем члены четвертой
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В СЛУЧАЕ ЦЕЛОГО ЧИСЛА ЗА,
63
[(*?)¦-(?)! +
степени в виде
Я4 (<7, р*, t) — Hi(q, р*, — X, \-^-j \ дп* I \ ~г ~3p>‘~dg'
(5.1)
Если 3к = т (т — целое число), то полностью Н3 уничтожить нельзя. Как показывают простые вычисления, гамильтониан Н* в этом случае при помощи преобразования Биркгофа можно привести к виду
Н * = 1к (g*а + р*ъ) + 2в* (q*3 - 3q*p*2) + 2v*30 (р** _ Sp*q**) +
+ H'(q*,p*,t), (5.8)
где
= х30 cos mt — у30 sin mt, = x30 sin mt + z/30 cos mt,
2П
^3° = 2ЇГ ^ («'„ cos mt 4- v"30 sin mt) dt,
0
Узо = 2^Г ^ ^зо C0S mt ~ “зо Sin mt^dt'
0
функция H' в (5.8) 2я-периодична no t и H' = О (( | q | + | р | )4).
Теорема. Если х30 + у^ Ф 0, то положение равновесия х = у =
— 0 системы (3.1) неустойчиво по Ляпунову.
Для доказательства отметим сначала тот очевидный факт, что задачи об устойчивости относительно а;, у в системе (3.1) и относительно q*, р* в системе с гамильтонианом (5.8) эквивалентны. Далее, сделаем такую замену переменных:
q* = ~\f2r sin (kt -f- ф — 0), р* — ]/2r cos (kt + ф — 0),
sin 30 = 30 , cos 30 =
(5-9)
Ухзо + Узо ^xli> + у\
Изменение переменных г, ф будет описываться дифференциальными уравнениями с функцией Гамильтона (г — импульс, ср — координата)
Н = 4У 2(х\й+ y\b)rVrcos 3ф + 0(г2). (5.10)
Возьмем функцию Ляпунова
F = rVTsin3cp. (5.11)
Ее производная в силу уравнений движения с функцией Гамильтона (5.10) будет такой:
dV
= 18 У2 (4, + У10) г* + 0 (г‘/.). (5.12)
64 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. 3
Так как функция V — знакопеременная, а ее производная (5.12) — определенно-положительная в окрестности начала координат, то, согласно теореме Ляпунова о неустойчивости, положение равновесия неустойчиво.
§ 6. Исследование устойчивости в случае целого числа 4Х
Если число ЗА, не будет целым, то в переменных q*, р* гамильтониан запишется в виде
я = я* + я4* + ..
где Я4 вычисляется по формулам (5.4) — (5.7). Пусть 4К = т. Делая замену переменных q*, р* —q, р с производящей функцией
S=q*p+'Sl*\
можно упростить члены четвертой степени в новой функции Гамильтона В, которая, как показывают выкладки, будет при этом иметь вид
в = у А. (?2 + Р2) + -J- с2 (<р + р2)2 + Й40 (q4 — 6?2?2 + р4) —
— 4^407Р (?2 — Р2) + Я" (?, р, t), (6.1)
