Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
(7.2.3) для (";(')} невозможно. Однако это выражение можно упростить,
если рассматривать решетку Браве, для которой индекс х следует опустить.
Для
20 Зак. 149}
306
Глава VII
величины (и2(/)) мы получим более простую формулу
, cth i pilo^ (Ь)
WW-SWwS ¦ (7-2.22)
а К]
которая удобна для получения численных результатов.
Далее, в случае кубического кристалла, для которого (й2 (/)) = (й2(/)) =
(й2(/)), находим
л v, cth -i- рй(r)у (k)
(й2 (I)) = QNM 2 J5j(k) = k,)
">L
= 2Ж/ -^•cthiptorfo. (7.2.23) о
Для случая низких температур
(r)I 00 (r)i
"т-Af ^+12/
0 /1=1 о
Первый член в этой формуле равен д-i- Этот член может быть разложен в ряд
по всем положительным четным моментам спектра собственных частот так же,
как это сделано при получении выражения для энергии нулевых колебаний в
гл. IV, § 1. Второй член может быть преобразован с помощью формулы
(4.2.2.). Мы получаем
"">=2>-.+тИ^Нт)' +
+тг (тгГ+т?1 (-х)'+ • • • }• Р-2-24)
Вычисление коэффициентов а2п, например по методу Хаустона, было описано в
гл. IV.
Для случая высоких температур мы разлагаем гиперболический котангенс по
обратным степеням темпе-
Рассеяние рентгеновских лучей и холодных нейтронов 307
ратуры
<"2" =ш jLs и {W (т) ¦+ i Ш -~жШ,й>2+ •'*}с?(0=2ж{2(А-2(-х) +
+ г(лг) -Ж "I" (7-2-25)
Момент \1-2 также может быть представлен в виде разложения по всем четным
положительным моментам. Однако поскольку он равен сумме обратных величин
корней векового определителя, возможно другое представление этой
величины. Частоты нормальных колебаний являются корнями
характеристического уравнения
(to2)3-а (к) (о2)2 + Ь (к) <в? - с (к)=0. (7.2.26)
Для заданного вектора к сумма обратных величин трех корней равна
так что (J.-2 имеет вид
|'-"=жЕтЩ-='яг/4щ-Л' Р-2-28) к
где v - объем элементарной ячейки обратной решетки.
Из формул (7.2.24) и (7.2.25) видно, что при сделанном нами выборе
циклических граничных условий
величина (и2а (^)) для одномерной решетки обращается в бесконечность как
при низких, так и при высоких температурах; для двумерной решетки
обращает-
ся в бесконечность при высоких температурах. Разложения (7.2.24) и
(7.2.25) для л-мерной простой кубической решетки с нулевыми граничными
условиями для смещений (см. гл. 5) были аналитически исследованы
Монтроллом [62]. Для такой модели упомянутые выше расходимости
отсутствуют, но появляются дополнительные члены, зависящие от числа
измерений кристалла.
20*
308
Глава VII
Во всех других случаях вычисление величины (иа(х))
с помощью формулы (7.2.23) проводилось фактически в дебаевском
приближении для функции g(to) '). Расчеты средних квадратов амплитуд
атомов в двухатомных кристаллах, вероятно, еще менее надежны, так как
существующие пока трудности вычисления собственных
векторов е^и| ^ j, входящих в формулу (7.2.5), заставляют пользоваться
приближениями, точность которых трудно оценить. Точный расчет величины
(и2) был выполнен Флинном и др. [296] для атомов меди. Для кристалла меди
эти авторы приняли модель центральных сил, действующих между ближайшими и
следующими за ними соседями, и вычислили собственные значения и
собственные векторы динамической матрицы в 4000 точках lU$ части
бриллюэновской зоны. Это позволило непосредственно вычислить сумму в
формуле (7.2.5). Результаты теоретического расчета оказались в хорошем
согласии с экспериментальными данными, полученными теми же авторами из
измерений уменьшения интенсивности брэгговских отражений. Расчет величины
{и2) для меди на основе модели, в которой принималось во внимание
нецентральное взаимодействие между атомами вплоть до третьих соседей
[401], привел к результатам, которые находятся в хорошем согласии с
данными, полученными для модели с центральными силами
[296]. Аналогичные расчеты были проведены недавно для алюминия [401, 402]
и для белого олова [403].
Соответствующее рассмотрение величин (jp2a (1))
выполняется совершенно аналогичным образом, и мы его не приводим.
§ 3. Теория рассеяния рентгеновских лучей тепловыми колебаниями решетки
Теория диффузного рассеяния рентгеновских лучей тепловыми колебаниями
атомов решетки в гармоническом приближении была развита Валлером [267,
268] и
') Результаты этих расчетов содержатся в работе [8].
Рассеяние рентгеновских лучей и холодных нейтронов 309
Оттом [269]. Обсуждение теоретических аспектов этой проблемы было
проведено несколько позже Лавалем
[297], Джеймсом [8] и Борном [2781. В этих исследованиях было показано,
что интенсивность рассеянных лучей может быть представлена в виде ряда,
первый член которого определяет интенсивность рассеяния с участием одного
фонона (рассеяние первого порядка), а последующие члены дают
соответственно интенсивности рассеяния с участием двух, трех и более
фононов. Обычно ограничиваются рассмотрением только первых трех членов.
Сначала выясним, как влияют на интенсивности рентгеновских дифракционных
максимумов малые смещения атомов из положений равновесия, обусловленные
