Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
тепловыми движениями. Мы рассмотрим только случай решеток Браве.
Распространение теории на решетки с большим числом атомов в элементарной
ячейке было выполнено Борном [278] и может быть осуществлено с помощью
методов, описанных ниже.
Из квантовомеханической теории рассеяния известно, что амплитуда волны,
рассеянной атомом (положение которого мы принимаем за начало координат) и
наблюдаемой на расстоянии R от начала координат, определяется формулой
[28]
(7.3.1)
Расстояние R предполагается большим по сравнению с длиной волны падающего
излучения, для которого в наших обозначениях
а.= |?Г\ (7.3.2)
Множитель Ф0 в (7.3.1), равный амплитуде рассеяния на единичном
расстоянии, зависит от свойств атома, на котором происходит рассеяние. В
интересующем нас случае решетки Браве (см. [10])
= - fo (т^г) (8пад ¦ врасс) • (7-3.3)
Здесь е и m - заряд и масса электрона, с - скорость
света в пустоте, епад и ерасо - векторы поляризации
310
Глава VII
падающего и рассеянного излучений. Множитель /о называют атомным фактором
рассеяния. В общем случае fo является функцией угла рассеяния и длины
волны падающего излучения. Для сферически симметричного состояния атома
величина fo вещественна. Множитель, стоящий при f0 в формуле (7.3.3),
равен классической амплитуде рассеяния одним электроном, умноженной на
расстояние R. В случае рассеяния атомом, смещенным из начала координат на
расстояние г, в правой части формулы (7.3.1) следует добавить фазовый
множитель ехр[2я1'(к - к') - г], где к и к' - волновые векторы падающего
и рассеянного излучений. Таким образом, при рассеянии кристаллом, в
котором положение /-го атома относительно начала координат, выбранного в
одном из узлов решетки, определяется вектором х(/)+и(/), рассеянная волна
будет иметь вид
е(tm)** J] exp [2т (к - к') • (х (/)+ и (/))]. (7.3.4)
Формула (7.3.4) справедлива при слабом рассеянии. В этом случае можно
считать, что на каждый рассеивающий атом падает та же волна, что и на
весь кристалл в целом, так как интенсивности волн, рассеянных от других
атомов, пренебрежимо малы по сравнению с интенсивностью падающей волны.
Можно сделать поправку к этому приближению [298], но сейчас мы не будем
этим интересоваться.
Поскольку смещение и(/) является функцией времени, которая может быть
представлена в виде суперпозиции независимых осцилляторов, каждый из
которых имеет собственную характеристическую частоту, то частота
рассеянной волны в общем случае будет отличаться от частоты падающей
волны. Однако поскольку максимальная частота колебаний решетки обычно
порядка 1012 сект1, а частота рентгеновских лучей порядка 1018 сект1, то
этим различием можно пренебречь.
Если вместо вектора к-к' ввести вектор S/Я,, перпендикулярный к
"плоскости отражения" и равный по величине (2Д) sin 0, где 20 - угол
рассеяния, то интенсивность рассеянного пучка может быть представлена
Рассеяние рентгеновских лучей и холодных нейтронов 311
в виде
/= |ф|> = J?C ? 2 ехр Ы |) X
I V
X [х (/) - х (/')] + нг • [и (/) - и (/')]• (7.3.5)
Поскольку мы имеем дело с колебаниями атомов и смещения и(/) зависят от
времени, формула (7.3.5) дает интенсивность рассеяния, соответствующую
мгновенной конфигурации атомов. Чтобы получить выражение для наблюдаемой
интенсивности, мы должны усреднить последний множитель в (7.3.5) по
некоторому малому промежутку времени, который, однако, достаточно велик
по сравнению с периодом колебаний атомов.
Как обычно в статистической механике, усреднение по времени заменим
усреднением по каноническому ансамблю систем с гамильтонианом (2.1.7).
Поэтому мы должны вычислить (exp(2n/S/A, • [и (/)-и (Г)]). В гл. VII, § 2
мы видели, что среднее по ансамблю от exp[tsue(/)]
равно ехр [- j s2 (u2 (/))]. С помощью этого результата мы сразу же
получаем
(ехр (2^. [и (/) -и (/')])) =
= ехР(~т({^- ["(0-и(/')]}*>)• (7-3.6)
Применяя преобразование перехода к нормальным координатам (2.3.1), можно
написать
({S - [U (0-и (ОН2)=(Л^ЛО"1 S 2 s"*"(y)Q(y)x
Ki k'.Г а а'
х * со _ еъчк-х (/)j Sa.ea' (kj,) Q (J,') X
x (7.3.7)
312
Глава VII
Среднее по ансамблю от этого выражения будет
(IS-["(О-четп-тгагЕ [s • '(5)Г<|" (5)Г>Х
KJ
X [1 - cos 2лк • (х (I) - х (Г))] =
- ш 2 [s •е (5)Г Е 0) I1 -cos:^ •(Х1"¦-xi(Ои.
к ,1
(7.3.8)
где
Е[))=24oCthTP'^(k). (7.3.9)
Интенсивность рассеяния принято представлять как кратное интенсивности
рассеяния одним классическим электроном при тех же условиях, т. е. в
электронных единицах. В этих единицах мы получаем следующее выражение для
интенсивности рассеяния:
</) = |/у" ехр <_ 2Г) ? ехр { [х (0 - * (П1+
+а*2м;)Г><
KJ
X Е (J) cos 2як • (х (/) - х (О)}, (7.3.10)
"р-тяг 2 [?--'(?)Ге(5)- <7-311>
KJ
Множитель e~2w описывает уменьшение интенсивности дифракционного спектра
в результате теплового движения атомов и называется фактором Дебая -
Валлера. В случае кубических кристаллов выражение для
2W значительно упрощается. Множитель [$'е(у)]
представляет собой квадратичную форму от компонент вектора S и обладает
