Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
Влияние поверхностей на колебания решеток 287
дующая группа частот соответствует продольным колебаниям граней, а четыре
нижние частоты отделяются от остальных и соответствуют продольным
колебаниям ребер. Две из этих четырех частот, соответствующих продольным
колебаниям ребер, вырождены. Зона частот, соответствующих продольным
колебаниям граней, частично перекрывается с нижним краем зоны частот,
соответствующих волнообразным колебаниям. Зона частот, соответствующих
нулевой частоте при t/<j=0, состоит лишь из частот волнообразных
колебаний и одной нулевой частоты; поверхностные колебания в этом случае
не возникают.
Изолированная частота, квадрат которой при т/<т=0 расположен в середине
запрещенной зоны, также 4М2-кратно вырождена. При отличном от нуля
значении параметра т/а это вырождение снимается. Верхние
4(N - I)2 частот образуют зону, соответствующую поперечным колебаниям
граней, следующие 8(N-1) частот образуют отдельную зону, частоты которой
соответствуют поперечным колебаниям ребер, причем обе эти зоны частично
перекрываются. Четыре нижние частоты отделяются от рассматриваемых зон,
они соответствуют колебаниям вершин. Два из этих колебаний вырождены. При
бесконечном увеличении числа атомов в решетке все три зоны сжимаются и
превращаются в три уровня, один из которых 4 (N-1)2-кратно вырожден,
другой 8{N-1)-кратно вырожден и, наконец, последний 4-кратно вырожден.
Картина расщепления показана на фиг. 35, где изображено лишь расщепление
частоты в запрещенной зоне, расщепление верхней частоты акустической
ветви и нижней частоты оптической ветви.
В изложенных работах Уоллиса использовались, в сущности, физически
нереальные модели. Для таких моделей поверхностные колебания как таковые
исчезают и превращаются в объемные колебания, если массы атомов обоих
сортов делаются одинаковыми, т. е. если решетка становится моноатомной.
Поскольку в континуальной теории поверхностных волн массы отдельных
атомов учитываются через плотность твердого тела, то нельзя придавать
особого смысла отсутствию поверхно-
288
Глава VI
стных волн в моноатомной простой кубической решетке с взаимодействием
лишь ближайших соседей. Этот факт является просто следствием упрощенности
модели, в которой не учитывается связь между х-, у- и z-компо-нентами
смещений. Однако произвести расчет поверхностных колебаний для реальных
дискретных моделей еще
Волнообразные J колебания \
Оптическая
ветвь
} Продольные колебания граней } Продольные колебания ребер
Поперечные
колебания
граней
} Поперечные колебания.ребер } Колебания вершин
Волнообразные / ЙШЩЖЯ коле ания I j Продольные колебания граней
Акустическая -......... ¦= > Продольные колебания ребер
ветвь
Фиг. 35. Квадраты частот нормальных колебаний конечной двухатомной
кубической решетки [265].
Обозначения те же, что н на фиг. 34.
труднее, чем для континуальных моделей. До настоящего времени был
произведен лишь один расчет такого типа - расчет Гази и др. [259]. Эти
авторы изучали моноатомную простую кубическую решетку, частицы которой
взаимодействуют со своими ближайшими и следующими за ближайшими соседями
при помощи центральных упругих сил. Они также ввели силы, обусловливающие
угловую жесткость системы из трех последовательных ближайших соседей,
образующих в положении равновесия прямой угол. Таким образом,
рассматриваемая модель содержит три силовые постоянные, которые
определяются через модули упругости. Решетка предполагается
полубесконечной, плоскость
Влияние поверхностей на колебания решеток 289
2=0 считается свободной поверхностью кристалла, который неограниченно
простирается в положительном направлении оси г.
Гази и др. предположили, что решение их yp?nv?чий движения имеют вид
(и, v, (r))|."., = (?/, V, 1Г)ехр[- qn+
+ i (Api + ffi'h + (r)*)]> (6.3.3)
где I, m, n - координаты произвольного узла решетки. Это предположение
приводит к характеристическому определителю третьего порядка, решения
которого для заданных <pi и <рг имеют вид соотношений между частотой со и
коэффициентом затухания q. Так как характеристическое уравнение будет
кубическим относительно ch q, то в общем случае каждой частоте и
соответствуют три коэффициента затухания q}. Решение будет иметь вид
поверхностной волны только в том случае, если входящие в него величины q,
имеют положительные вещественные части. Амплитуды Uj, Vj и W} для
конкретного коэффициента затухания </j определяются соотношениями
Uj _ Vj _ iWj
h ~~ T\j ~~ lj
где lj, и I) - соответствующие миноры характеристического определителя.
Общее решение уравнений движения, описывающее поверхностную волну, имеет
вид
з
(и, v, iw)u m, " = Д (1у. Лу. lj) Kj ехр [- nqj +
-Ы (Лч>1 "МгФг + (6.3.5)
Величины Kj определяются из граничных условий, учитывающих, что на данную
частицу не действуют частицы со стороны отрицательных г от плоскости г=0
(эти частицы отсутствуют).
Подстановка решений (6.3.5) в уравнения, соответствующие этим граничным
