Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
свойств кристалла. Будут приведены результаты, полученные с помощью этих
методов до настоящего времени. В заключение мы обсудим недавно
предложенную Ван-Ховом теорию рассеяния нейтронов колебаниями решетки с
использованием временных парных корреляционных функций.
Обзор общей теории распространения волн в кристаллах был недавно сделан
Слэтером [294]. В его работе имеется обширный список статей и книг,
касающихся вопросов, которые мы будем обсуждать в этой главе.
§ 2. Локализация атома около положения равновесия
Как было отмечено во введении, наиболее непосредственными
характеристиками локализованного движения атома в кристалле в
гармоническом приближении являются функции распределения его координаты и
импульса. Поскольку эти функции могут быть экспериментально определены из
опытов по диффузному рас-
Рассеяние рентгеновских лучей и холодных нейтронов 301
сеянию рентгеновских лучей и рассеянию холодных нейтронов, они могут дать
информацию о гармонических силах в кристаллах. При соответствующих
вычислениях окажутся полезными результаты, полученные в гл. II, § 3. В
настоящем параграфе мы получим выражение для функции распределения
координат.
Мы начнем с вычисления среднего квадрата амплитуды колебания a-
составляющей смещения х-го атома, находящегося в /-й ячейке. Применив
преобразование перехода к нормальным координатам, которое дается формулой
(2.3.1), мы получим
u(')>=7^s s.<q (5)<з*(;')>^ы;) х
X < (* I) exp [2я( (k-kO • X (01, (7.2.1)
где угловые скобки обозначают среднее по каноническому ансамблю систем с
гамильтонианом (2.3.9). Среднее значение величины Q (у) Q* (j, j по
каноническому ансамблю равно
/ /к\ /к'\\ spQfJW/)*-15"
<g(?)Q (/)>= ' -
= Z-12 (п | Q () ) Q* ( ) | ¦n) e~p\ (7.2.2)
П
<Q(j)<r{f ))=гк/д if) шДк)
ny(k)=0
X exp [- (л/k)+^ pficoy (k)] =
= Л(к-к')в;г (7.2.3)
поскольку все множители в числителе и знаменате-
/к\
ле (7.2.2), не имеющие индексов ^J. сокращаются.
302
Глава Vll
Величина zkJ есть статистическая сумма для нормальной координаты ^
-ipftffly(k)
ZkJ ~ j__e-fuiQj(k) • (7.2.4)
При преобразовании величины (л| Q (у) Q*(/)|n) мы
использовали результаты, выражаемые формулами (2.3.32) и (2.3.35).
Подставляя (7.2.3) в (7.2.1), можно видеть, что
")>¦=*№ (-15)4*1
Тем же способом можио показать, что
<^(y)^*(y)>='^T^cthip^(k)' (7*2>6)
так что средний квадрат a-составляющей импульса атома (х) будет иметь вид
(^(i))eW Е<(х | уН(х I 5)(r)Hk>cth Y pAo;(k),
k'J (7.2.7)
где
Pa{l) = M
Можно теперь перейти к вычислению среднего по ансамблю функции ехр . Это
среднее значение
непосредственно входит в теорию диффузного рассеяния рентгеновских лучей
тепловыми колебаниями кристалла. Кроме того, преобразование Фурье этой
величины дает функцию распределения вероятности для компо-
Рассеяние рентгеновских луней и холодных нейтронов 303
ненты смещения ИоЦ]
СО
РЫШ = Т5Г /
-оо
f (s) = (ехр (isiia (Jj) )). (7.2.9)
где
Функция P(u)du определяет вероятность того, что величина и лежит в
интервале (и, u-+du) при du-*-0.
По определению функция f(s) может быть записана в виде
Spe-p"exp[/sita(Ml
f(s)==-------• (7'2Л0)
Представим ИаЩ в виде разложения по операторам рождения и уничтожения,
введенным в гл. II, § 3.
J
<7'2Л1>
К/
В первой сумме мы заменим переменную суммирования к на -к, так что
SUa (х) = S \ран (_/) Ч"Соч (у j Лку] • (7.2.12) к.3
Так как операторы akJ и ак] коммутируют со всеми операторами рождения и
уничтожения с другими значениями к или /, то выражение для f(s)
разлагается на множители, каждый из которых представляет собой
304
Глава VII
среднее по состояниям одной из нормальных координат
X(Ю]<лДк)|ехр[/(С*/г*,+CkJakJ)]\п}(к)). (7.2.13)
Вычисление диагонального матричного элемента упростится, если
воспользоваться теоремой Бейкера - Хаус-дорфа [295]
ел+в = елеве- г'А'в\ (7.2.14)
где А и В- два некоммутирующие оператора, которые,
однако, коммутируют со своим коммутатором. Тогда искомый матричный
элемент принимает вид
{п | eiC*a*etCa | л) ехр у | С |. (7.2.15)
С другой стороны, из (2.3.35) следует
(л/|а*ЛГ|л) = 6"',я+лг ]/~= (7-2.16)
так что
dC*\N /----- (7.2.17)
Таким образом, мы находим
Wf,o.V"M=/.l P'AIS)
ЛГшО
Рассеяние рентгеновских лучей и холодных нейтронов 305
и сумма в формуле (7.2.13) принимает вид
V vyfr+TWt-l^lcP* п\
Zl Li* (ЛП)2 (n-N)l -
п=о лг=о
-у 3*0 ОО
(ЛП)2 (n - N)\
л"0
= гтсу ехр
-|С|=
-урАвуЮ
2sh уР(c)у(к)
(7.2.19)
С помощью формул (7.2.13), (7.2.15) и (7.2.19) окончательно получаем
/00 = 11 ехР [- т!с12 cth т^ ю] =
= ехр
_____ е-
2 s
____yiW5bHHc(hi"to л,
2NMV 2л <oj(k) C№ 2 P"(r)Mk)
-мр[-(7.2.20)
Таким образом, величина имеет характеристическую функцию гауссовского
типа и, следовательно, гауссовскую плотность вероятности
Р(0) = [2я(^('))]-\хр/-1^^у (7.2.21)
Этот результат в классической теории был получен Дебаем [268] и Валлером
[271]. Строгий квантовомеханический вывод впервые был выполнен Оттом
[273]. В общем случае дальнейшее упрощение формулы
