Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Марадудин А. -> "Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении" -> 83

Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.

Марадудин А., Монтролл Э., Вейсс Дж. Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении — М.: Мир, 1965. — 384 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskayateoriyakrisreshetki1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 114 >> Следующая

условиям, приводит к новому характеристическому уравнению третьего
порядка. Частота а и коэффициент затухания qj для каждого направления
распространения, определяемого величинами
¦ = -^7 = -FT- = *y. (6-3-4)
19 Зак. 1491
290
Глава VI
ф1 и фг, находятся как решение системы двух характеристических уравнений.
Были произведены численные расчеты частот и коэффициентов затухания
поверхностных волн для различных наборов силовых постоянных, для которых
в приближении континуума существуют релеевские волны. Рассматривались
лишь волны, распространяющиеся в направлении [100]. Оказалось, что для
малых величин <pi = <p частота о зависит от <р линейно, причем наклон
соответствующей прямой совпадает со значением, предсказанным
континуальной теорией. Для значений <р, соответствующих длинам волн
порядка постоянной решетки, имеет место дисперсия, и частота и перестает
быть пропорциональной <р.
Кроме того, было установлено, что существует критическое значение <р=фс,
при котором один из коэффициентов затухания qi или <72 обращается в
бесконечность. Для ф>фс коэффициент затухания qi имеет вид qia+in, так
что поверхностное колебание в этом случае представляет собой обобщенную
релеевскую волну, в которой соответствующие коэффициенту затухания qi
компоненты смещений соседних параллельных поверхности слоев находятся в
противофазе.
Следует произвести еще много расчетов такого типа для разных моделей
решетки, для различных типов кристаллических структур, для различно
ориентированных поверхностей и для различных направлений распространения,
прежде чем мы сможем сказать, что теория поверхностных колебаний решетки
развита столь же полно, как и теория объемных колебаний. Описанные здесь
расчеты представляют собой заметный шаг в этом направлении.
§ 4. Взаимодействие дефектов с границами
Поскольку границы кристалла можно рассматривать как протяженные дефекты,
то возникает мысль, что они должны взаимодействовать с дефектами,
расположенными внутри кристалла. Так и оказывается на самом деле.
В качестве первого примера взаимодействия дефектов с границами рассмотрим
изотопическую примесь на
Влияние поверхностей на колебания решеток 291
расстоянии m постоянных решетки от конца линейной цепочки. В случае
закрепленных границ (положения концов цепочки фиксированы) определитель
|Д(т, ш) |, согласно формулам (5.4.35) и (5.5.3), имеет вид
N
,. , V1 sin2 (mns/(N4-1)) /с л i\
|Д(т, ")| = 1---Afa*-Ztil+ir(6А1>
В пределе при N-*oo для случая (c)->i(c) эта формула принимает вид
| А (да, if) | = 1 - е th (|) (1 - *-**), (6.4.2)
если воспользоваться заменой переменных /=shz/2. Соответствующий
определитель для случая свободных границ можно найти из формул (5.4.35) и
(5.5.3), и он оказывается равным
|Д(да, //)| = i_eth(?)(l+*-*"). (6.4.3)
По мере удаления дефекта от границы экспонента, содержащая величину да,
стремится к нулю и формулы
(6.4.2) и (6.4.3) переходят в соответствующие формулы для
изолированного дефекта
|Д(оо, //)| = 1-eth(-j). (6.4.4)
Нулевая энергия взаимодействия дефекта с границей определяется следующим
выражением:
А?°=-%г f fdln\l(Zl!hr (6-4>5)
о
которое при m -> оо принимает вид (А?,о)з.гр=з2^8*
м (6-4-6)
(Д^о)с.гр- 32ЯОТ2 8
для двух рассматриваемых случаев. Следовательно, в случаях как
закрепленных, так и свободных границ
19*
292
Глава VI
энергия взаимодействия обратно пропорциональна квадрату расстояния
дефекта от границы. Взаимодействие соответствует притяжению, если
М < М' < оо для закрепленных границ,
О < М! < М для свободных границ, и отталкиванию, если
О < М < М для закрепленных границ,
М < М' < оо для свободных границ.
Качественно такой результат не является неожиданным. Взаимодействие
изотопа с закрепленной границей эквивалентно взаимодействию изотопа с
частицей, имеющей бесконечную массу. Если обе эти частицы тяжелее
регулярного атома, то между ними существует притяжение; если
изотопический дефект легче, то при его взаимодействии с границей, имеющей
"бесконечную массу", возникает отталкивание. С другой стороны, свободная
граница эквивалентна очень легкому атому, расположенному на конце
цепочки. Приведенные выше результаты находятся в соответствии с формулой
(5.5.33).
Далее, знак у выражения для энергии взаимодействия таков, что если дефект
притягивается к свободной границе, то он отталкивается от закрепленной
границы, и наоборот. Взаимодействие представляет собой величину порядка
е, а не е2; следовательно, взаимодействие изотопа с границей не является
взаимодействием типа "отражения", что имеет место в электростатике и
гидродинамике.
Эти качественные выводы справедливы также и для случая трех измерений. В
общем случае п измерений, когда изотопический дефект расположен на
расстоянии т постоянных решетки вдоль оси х1 от поверхности, энергия его
взаимодействия с закрепленной границей в пределе при т -> оо определяется
формулой
Г[(" + 3)/2].1^ко,е /fij(Tx
(Д?о)э. гр ~ 7" v \Ч,*п+1,0п,п12+1(Мю2уи • I1)
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 114 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed