Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
частотами, в то время как рассеяние около отражений нулевого порядка
обусловлено главным образом акустическими колебаниями.
Рассеяние рентгеновских лучей и холодных нейтронов 317
Прежде чем подставлять в формулы (7.3.22) и (7.3.23) экспериментально
измеренную интенсивность для определения дисперсионных формул, следует
вычесть из нее вклады от рассеяний второго и третьего порядков, а также
от некогерентного комптоновского рассеяния. Оценка этих вкладов является
главным источником ошибок в этом методе.
Рассеяние второго порядка обусловлено процессами, в которых участвуют два
фонона. Интенсивность этого рассеяния определяется третьим членом h в
разложении (7.3.14)
Суммирование по х(/) и х(Г) опять может быть выполнено с помощью (2.3.4).
В результате получим
X cos'a (*') соз2а(*2) [д +к, + к2) +
+д(4+к1-к2)+д(4-к1+к2)+д(1-к1-к2)].
Заменяя в последних членах этого выражения переменные суммирования к4 и
к2 на -ki и -к2, мы получаем окончательное выражение для интенсивности
рассеяния второго порядка в электронных единицах, отнесенной
X cos 2якг • (х (/) - х (/')). (7.3.24)
к|" ]\ ка" ji
318
Глава VII
к одному атому
X cos2 о ( ) cos2 о (?) А (|+kx + k2). (7.3.25)
Поскольку б-функция отлична от нуля только в точках, для которых (S/Л.)
+ki+k2=T, где t - любой вектор
Фиг. 37. К пояснению того, что интенсивность рассеяния рентге* новских
лучей в точке X обратной решетки в результате двух* фононных процессов
представляет собой сумму вкладов от всех пар нормальных колебаний, сумма
волновых векторов kt и к2 которых (с точностью до вектора обратной
решетки) равна вектору к, соединяющему точку X с ближайшим узлом обратной
решетки.
обратной решетки, то это выражение дает вклад в интенсивность рассеяния в
точке X пространства обратной решетки от всех пар упругих волн, сумма
волновых векторов которых дополняет вектор S/Л. до вектора обратной
решетки (фиг. 37). Интенсивность рассеяния с участием трех фононов может
быть получена аналогичным образом. Этот результат можно несколько
упростить, если, используя свойства в-функции, выполнить суммирование,
например по к2, и затем заменить сумму по ki интегралом. Однако
получившийся интеграл все-таки не может быть точно вычислен, поскольку
это требует дополнительных знаний о собственных частотах и собственных
векторах всех упругих волн. Интенсивность
х
Рассеяние рентгеновских лучей и холодных нейтронов 319
рассеяния второго порядка была впервые оценена Ол-мером [299]. Олмер
заменил бриллюэновскую зону сферой равного объема и аппроксимировал
кристалл изотропным упругим континуумом, в котором все упругие волны
имеют одинаковую скорость. Более строгое рассмотрение этого члена было
проведено Уокером [115], который учел дисперсию упругих волн и
существование продольных и поперечных колебаний. Интенсивность рассеяния
второго порядка, вычисленная Уокером,значительно больше величины
интенсивности, полученной в приближении Олмера, особенно для тех областей
обратной решетки, в которых рассеяние первого порядка минимально.
Интенсивность рассеяния, обусловленного процессами третьего порядка,
может быть вычислена аналогичным образом. В этом случае пренебрежение
дисперсией и предположение, что упругие волны имеют одинаковую среднюю
скорость, приводят к несущественным ошибкам. Вычисление члена третьего
порядка было выполнено Олмером [299], который нашел, что по порядку
величины этот член меньше других членов.
Последняя поправка, которую следует вычесть из величины измеренной
интенсивности, обусловлена некогерентным комптоновским рассеянием и может
составлять значительную долю наблюдаемого рассеяния. Интенсивность
комптоновского рассеяния можно определить либо теоретически, либо
экспериментально. Поскольку в настоящее время отсутствует теория
комптоновского рассеяния в кристаллах-, следует считать, что наиболее
точное вычисление было выполнено с помощью формулы Валлера - Хартри для
свободного атома [300]
/м."=р-21Ма](-т)3' (7-3-26>
где
fu = f (г) eW)s.t^ (Г) ^зг< (7.3.27)
В этих формулах индекс "эл. ед" означает, что интенсивность выражена в
электронных единицах; Z - атомный номер; ij>j(r) -волновая функция /-го
электрона в атоме; интегрирование распространяется на все про-
320
Глава VII
странство; оно' - частоты рентгеновского излучения до и после рассеяния.
Множитель (ю'/со)3, который называется поправочным множителем Брейта -
Дирака [30i, 302], обычно полагают равным единице. Второй член в (7.3.26)
возникает вследствие принципа Паули, запрещающего электронные переходы в
занятые состояния, так что суммирование выполняется только по
одноэлектронным волновым функциям, соответствующим одному и тому же
значению спина.
Вычисление некогерентного комптоновского рассеяния по формуле (7.3.26)
было проведено Фриманом для Ne, Cu+, Си, Zn2+ [303] и для А1 [304]. В
этих вычислениях были использованы одноэлектронные волновые функции,
полученные по методу самосогласованного поля Хартри - Фока. В тех
