Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
для примесных частот в этом случае являются обобщением уравнений (5.5.28)
1 = еМа? [g (0, 0, 0; <a)±g(m.l, щ, со)]. (5.5.43)
Точно так же, как и в случае одного измерения, можно показать, что две
примесные частоты возникают не для всех конечных расстояний. Положение в
случае трех измерений осложняется тем, что для изотопического дефекта
примесные частоты могут вообще не возникать. Условие того, что от зоны
разрешенных частот отщепятся две частоты, может быть записано в виде
1 >е> {2(2-+-а)[/(0, 0, 0; а; 1) - I (тх, щ, т3; а; I)]}-1,
(5.5.44а)
где
I(mv т.г т.л; а; 1)-^Ап7а[п^х-\-т\ • (5.5.446)
для больших значений величины (/raJ-f-/ra^-)-m2/a).
Монтролл и Поттс [185] решили уравнение (5.5.43), предполагая, что
условия (5.5.44) выполнены; при этом они получили
(5.5.45a)
где
R = (m;Yi + т\у2 -j- (5.5.456)
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 227
fo - примесная частота для изолированного изотопиче ского дефекта, А и В
- положительные постоянные, за висящие лишь от е и у и не зависящие от
mi, гпг, m3 Приращение нулевой энергии, связанное с изотопи ческим
дефектом, определяется формулой
йа>, F
A^o =------2n~ f fd'n[' + tMvffg(0, 0, 0; if)]. (5.5.46)
0
Этот интеграл был вычислен для малых значений е при совместном
использовании аналитических и численных методов, причем он оказался равен
Л",
а =8 А?'о = --[0,53е + 0,40е2+ ...],
Аю <5-5'47>
а = 16 А?'о = -^4[1.43е + 0,26е2+ ...].
Зависящую от температуры часть свободной энергии в случае низких
температур можно получить, используя разложение функции Q(f) в ряд при
малых f. Поскольку для малых значений f [230]
g(0, 0, 0; if) = do~\~ai\f\ • • •" (5.5.48)
то из формул (5.3.256) и (5.3.34) следует, что iF(r" = 4B0+S{^eAte"ai(^-
)3-
-Ж (<*. - "*К"А) (¦?$ +¦¦¦}• <5-5.49)
Коэффициент а0 надо определять численно для каждого значения а. Но
коэффицент ai для любого значения а можно получить из соотношения
________2 (2 +а)*
пМе>\ а'1*
(5.5.50)
Ограничиваясь членами с низшими степенями в разложении, мы находим, таким
образом, что величина ДF (T), соответствующая одному изотопическому
дефекту,
15*
228
Глава V
будет определяться формулой
AFOT~AB,+*7-[if.?±2)i(-^)S+...]. (5.5.51)
Используя известную формулу термодинамики
С. -7-(5^. (5.5.52)
мы находим, что приращение низкотемпературной теплоемкости при наличии
одного изотопического дефекта равно
4С-=- ^ s^- (т$+0<р)- с-5-53"
Необходимо отметить, что соотношения (5.5.51) и (5.5.53) справедливы для
всех значений параметра е, а не только для малых е. Поскольку
низкотемпературная теплоемкость совершенного кристалла равна
+ (5.5.54)
то мы можем использовать результаты гл. V, § 7 и утверждать, что с
точностью до членов, линейных относительно концентрации изотопической
примеси с, теплоемкость при низких температурах будет равна
Если это выражение записать в стандартном виде (4.2.7) (при г=1), то
видно, что значение температуры Дебая при 0° К определяется формулой
Лю" a'l1 (9я2 \ г ее п
e(c)=-W+^F\~J [1+Т+-"]- (5,5'56)
Следующие отсюда качественные выводы относительно зависимости от е и с
легко поддаются экспериментальной проверке.
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 229
Рассмотрим случай высоких температур. Поскольку |А(о) = 0) | = 1 итак как
g(0, 0, 0; +5"+ •••]' (5.5.57)
для больших f, то из формул (5.3.40) и (5.3.27) мы находим, что
Д F(T) 1
kT ~~2
In
1 1 е / Л", \2
т=г + тв-1=г(т^)+-- (5'5.58)
Отсюда сразу определяем приращение теплоемкости при высоких температурах
Дс" (Т) = - (-^)2 + О (Г-4). (5.5.59)
Рассматривая энергию взаимодействия двух изотопических дефектов при
абсолютном нуле температур, мы находим в пределе слабого дефекта, что
А?/ =----2й- J a4g2(mi' m2i to) da, (5.5.60)
о
где (ти m2, ms) - координаты второго дефекта относительно первого. При
больших расстояниях в формулу (5.5.60) можно подставить асимптотическое
выражение для g(mi, ш2, ш3; ш) из формулы (5.4.13); при этом оказывается,
что случай п измерений столь же прост для анализа, как и случай одного
измерения. Тогда энергия взаимодействия определяется формулой
т<"-з)
Хехр (- 2Л11/,5со) da =
--------*5*4___________________Г(п + 2) (5.5.61)
32 (4я)" (у, ... у") (Y. + • • • Уп)'1' S2n+1
так что A?i~5-3 для одного измерения, Afi^S-5 для двух измерений, A?i~S-7
для трех измерений. Между дефектами возникает притяжение, если обе массы
Мл
230
Глава V
и М$ либо больше, либо меньше, чем масса М (однотипные дефекты); если же
Ма>М>Мр или Мр>М>Ма (разнотипные дефекты), то имеет место отталкивание.
Грубую оценку величины энергии этого взаимодействия в случае трехмерного
кристалла можно получить, положив все величины у равными друг другу.
Тогда формула (5.5.61) принимает вид
\Р ------р р А/л . ^^
256яз (m2 + m2 + т1уи *
Полагая величину йо>L равной ?0, где 0 - характеристическая температура
Дебая, и принимая для последней в качестве разумной оценки величину 400°
К, получаем
АЕ. 12,05-10"18
W + ^+m|)',. "!*¦
