Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
В гл. VI будет рассмотрено взаимодействие дефектов с граничными
поверхностями кристалла. Поэтому здесь мы укажем функции Грина crx(tn,
tn'), которые соответствуют правой и левой границам. В случае жестко
закрепленных концов граничные условия имеют вид
и(0, щ. ..., mn) - a(N + 1, щ, ..., тп) = 0. (5.4.34)
В этом случае требуемыми элементами обратной матрицы будут [75]
а<-!> (га; т') = (д^г)"
*,=i
N JL | nmksk пmjsk \
n{SInAMrTsln w+t )
••• 7 *"* ^ ,--------zr-r- (5.4.35)
Z-l Мв* " 2S *ft (l - cos ft
N
I
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 209
В случае свободных границ мы получаем [75]
В следующих параграфах мы изложим результаты применения развитого здесь
формализма к решению различных задач, связанных с дефектами.
§ 5. Влияние дефектов на колебания моноатомных решеток
В этом параграфе мы применим развитый выше формализм к рассмотрению
влияния дефектов на колебания моноатомных решеток. Рассмотрим здесь
случай лишь небольшого числа дефектов, а обсуждение больших концентраций
дефектов отложим до § 7.
Ниже будет показано, что для отдельных задач можно довольно точно
определить влияние дефектов и примесей конечной концентрации на
колебательные свойства кристалла, если знать, каково влияние одного или
двух изолированных дефектов. Если бы это было не так, то изучение
большинства физически интересных задач, связанных с дефектами, было бы
невозможно.
В дальнейшем мы ограничимся исследованием дефектов в одномерных и
трехмерных решетках. Первый из этих случаев интересен потому, что здесь
часто удается получить решение в конечном виде, а качественные черты
решения можно перенести и на трехмерный случай; второй же случай
соответствует физически интересным задачам. Исследование дефектов в
двумерных решетках несколько осложняется неанали-
+ 0(ЛГ'). (5.4.36)
14 3"к. 1491
210
Глава V
тичностью соответствующей функции Грина в комплексной плоскости (c).
Связанные с этим трудности были преодолены в работе [230]').
Простейшей одномерной задачей является задача об одной инородной частице
в линейной цепочке, состоящей из N частиц одинаковой массы М, причем
каждая частица цепочки взаимодействует лишь с двумя своими ближайшими
соседями. Предположим, что инородным атомом с массой М' замещена частица
в начале координат, причем силовая постоянная связи этого атома с его
ближайшими соседями равна у'.
Уравнения движения решетки в виде, не содержащем явно времени, могут быть
написаны следующим образом:
М<?ип 4- \'Д2и" = (М - М') (о2бп0и" +
-My - Y') (6Я.) 4- - О (ип+1 - ип) -
- (Y - У') (*яо + Ьа, i) (ия ~ип-1)- (5-5.1) Определитель |Д(со) |
будет иметь вид
Д(Ш)| =
1 - e*g-<-Ч - е,|?(0)+ ?<2)| + 2е,?(-1) -e*g-(-D-е,в-(-2)
-е,*(0)-е,*(1) 1 + е, [*(-"+*0)1+28* (0) - (0) - е,г(-1> .
-ej?(l)-e,*(2) г, |?(0)+?(2)]-(-2e^(l) 1-ejj-(l)-г&(0)
(5.5.2)
где е1=у'- Y> а "2=y - у'(М/М'). Этот определитель сводится к
произведению
| Д (">)| = {1 + е, [g(0)-g (2)]}{^+e1^(l)+^(0)}.
(5.5.3)
и, приравнивая его к нулю, мы получаем следующие уравнения для частот
возмущенных нормальных колебаний:
e,te(0)-g(2)] = L + e,"2g(l) + ejtfg (0) = 0. (5'5'4)
В общем случае, когда меняются и массы и силовые постоянные, эти
уравнения приходится решать числен-
•) А также в неопубликованной диссертации Маханти.
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 211
но. Монтролл и Поттс [185] рассмотрели различные типы решений, которые
могут при этом встретиться. В частном случае y/=Y (изотопическая
замещающая примесь) рассматриваемые уравнения упрощаются и приводятся к
виду
(М - Af')tfg(0) = l. (5.5.5)
Если ввести обозначение М'=( 1-г)М и использовать выражения для функции
Грина g(0), определяемой формулой (5.4.16), то (5Д5) можно представить в
виде
, 0 __ . N9 /С С
etg-g =tg -. (5.5.6)
Известно, что в отсутствие дефектов частоты невозмущенных нормальных
колебаний рассматриваемой решетки дважды вырождены и равны
a>=a>i.sin(n&/jv)> Поскольку изотопический дефект расположен в центре
решетки, то вырождение снимается, так как возмущение влияет лишь на
симметричные (ып = ы_п) колебания. Это обусловлено тем, что
антисимметричные колебания (и" = -и-") имеют узел в точке
расположения
дефекта, и присутствие дефекта не сказывается на та-
ком колебании.
Допустимые значения величины 0 можно найти, решая уравнение (5.5.6)
методом последовательных приближений, и тогда частоты возмущенных
колебаний определяются при помощи формулы (5.4.17). Оказывается, что в
случае е<0 (примесь тяжелого изотопа) имеется однозначное соответствие
между возмущенными и невозмущенными частотами, причем первые несколько
более сжаты по сравнению с последними, что находится в соответствии с
теоремами Релея. В случае 0<е<1 (примесь легкого изотопа) все возмущенные
частоты лежат выше невозмущенных, но, кроме того, число решений уравнения
(5.5.6) на единицу меньше, чем число невозмущенных частот. Это
"пропавшее" решение соответствует комплексному значению величины 0, а
