Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
ц. Если без ограничения общности предположить, что Яр является
периодической функцией от р с периодом, L, то интеграл в (5.4.19) легко
оценить [369, 378] ¦). В результате
') Такая оценка цронзведена также в неопубликованной диссертации Сеннета
[Sennett С. J., D. Phil. Thesis, 1964].
204
Глава V
получим
г (m)=TjTjj-1 (ri -т(r)- л cig "р W+
+тйтр/Ч^г1(А-Л- <5Л20>
о
Это выражение можно переписать в форме, более удобной для численной
оценки:
2я
g (т) = я ctg я/? (ц.) f f f cos cos /^Gjcos m303X
о
X & pW(D2-2 2vy (1 - cos 0y)j dd1 d% rf03-|-
2я
Г f Г cos m181 cos m2e, cos m,9, dQ dQ dQ (5.4.21) ~ (2я)8 J J J Ж(r)"-У
2y/(1-cos0y) 7
С помощью интегрального соотношения
00
lim i j dte-"~ltx = *>(¦!) + /яб (x) (5.4.22)
тройные интегралы могут быть приведены к простым. Например, второй член в
правой части (5.4.21) можно представить в виде
(-1)* J sin ^jWo2 - 2 2 V/j tJm, (2yi0 Л", (2y2t) Jm, (2y3f) dt
Щ -+- Щ -+- Щ-2k, (5.4.23a)
(-1)* /COS (м<й' - 2 2 Y/j tJm, (2yi0 Jm> (2Ъ*) •/". {2y^t)dt
rtt1 + m2-\-mz=2k-\-\. (5.4.236)
Оценка этих интегралов пока не производилась.
Почти таким же образом можно вычислить элементы матрицы Мо 1 (о) для
двухатомной решетки, состоя-
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 205
щей из (2N)" чередующихся частиц, так что четные узлы решетки заняты
частицами с массой Ми а нечетные - частицами с массой М2. Уравнение для
не зависящей от времени части ^-составляющей смещения для частиц двух
типов имеет вид
П
МУ а (га)+2 укА\а (ш)=0 (5.4.24)
ft=l
для четных значений суммы (ml + m2+ ... +mn) и аналогичное уравнение, в
котором Aft заменено на М2- для нечетных значений суммы (trti + tn2+ ...
тп). Эта двойная система уравнений может быть сведена к одной системе
(m)+2 (m) = 0 (5.4.25)
применением преобразований
v (m) = ^Afjto2 - 22 а (га)
т, + пи, 4- ... -4- тп четная / ХГ х./ (5.4.26а)
v (ш) - |Му - 2 2 Yjj я (п>)
••• ~\~та нечетная
и
М*в? - 2 2 Y/ = (МУ - 2 2 Y>)'А (МУ - 2 2
(5.4.266)
где мы принимаем лишь положительное значение квадратного корня. Система
уравнений (5.4.25) идентична системе уравнений (5.4.1) для моноатомной
решетки, если ввести "зависящую от частоты" массу. Матрицей М0(и) в этом
случае будет матрица коэффициентов при величинах v в системе уравнений
(5.4.25). Если наложить циклические граничные условия, то элементы
обратной матрицы М0_1(ю) можно записать в виде
* 1
206
Глава V
Как и в случае моноатомной решетки, эту сумму можно вычислить в конечном
виде лишь для одномерного случая, для которого подстановка
l_i^- = cos0 (5.4.28)
сводит эту сумму к сумме, стоящей в формуле (5.4.14). Тогда частоты
нормальных колебаний оптической и акустической ветвей определятся из
решения квадратного уравнения, получающегося при сопоставлении формул
(5.4.2а) и (5.4.26). Эти частоты оказываются равными для акустической
ветви
o2 = -j<o|(l -у 1 - 4(ojof/(r)!)sini(r))* cos0>O, (5.4.29а) для оптической
ветви
(c)2 = I (14- У1 - 4 ((о2со2/со?) sin2 0), cos 0 < 0, (5.4.296) где в общем
случае мы положили
"?"тйг2^. &i=~k j
(0?==(01 + (02-
Без потери общности можно положить, что Afi>Af2.
Функцию Грина для зонных состояний двухатомной решетки в трехмерном
случае можно вычислять совершенно так же, как и в случае моноатомной
решетки.
Вычисление суммы в формуле (5.4.27) существенно упрощается в четырех
представляющих для нас интерес случаях:
а) < > м|.
Этот случай имеет место при расчете частот локальных колебаний,
отщепившихся от верхнего края оптической ветви.
б) о2 < а? < <о|.
1*7.
(5.4.30)
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 207
Этот случай соответствует частоте локального колебания, лежащей в
запрещенной полосе частот.
в)
Этот случай важен при расчете аддитивных функций частот нормальных
колебаний.
г) 0 < (c) < (c),.
(c)2 < (c) < aL.
В задачах рассеяния частоты должны лежать в указанной области, и на
функцию Грина должны быть наложены условия излучения на бесконечности.
Подробно рассматривать этот случай мы не будем.
В каждом из этих случаев суммирование в формуле
(5.4.27) заменяется интегрированием в пределе при JV-"oo. В одномерной
задаче эти интегралы можно точно вычислить. Получим
-((c)?- а$)'/г (о2 - "ф1А]1Я|. (5.4.31а)
2у(r) М1"1-1 Х
X [(c)((c)2 - (О2)^ -(со2 -Сй2)1^ (о2 -со2)^]'"1,
(r)i<(c)<(c)2> (5.4.316)
X
х [(о2+(c)i)'7* ((c)2+(c)^ -(c)((c)?+(c)|),/*]|л|,
(c)->/(c). (5.4.31 в)
В трехмерном случае функции Грина для частот, лежащих в области ((c)1, (c)г),
удобно выразить через вспомо-
208
Глава V
гательный интеграл J(nh, Щ, а. Р) =
Я
___L Г f f cos /их0| cos m20a cos m393 rf9| tf0a dQ3_
я8 J J J (2 + ct)^P + cos0l + cos02 + acos03 о
00
= f e-lv+aWJm,(t)Jmi(t)Jmi{at)dt (5.4.32)
о
в виде
ё(Щ, Щ, m^ = -7?kS-J(mv щ, m3\ a, p), (5.4.33a)
f AljАлд С0|(c)2
где
(5АШ)
Влияние дефектов в двухатомных простых кубических решетках можно
исследовать с помощью полученных результатов совершенно так же, как и для
моноатом-ных решеток.
