Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
|Д ((о)| = 1 - eMtfg (0, 0, 0; (о). (5.5.40)
Уравнение | А (со) | = 0, из которого определяются частоты, лежащие над
зоной разрешенных частот, имеет решение лишь при е>0, т. е. для примесей
легких изотопов. Это уравнение решалось численно для двух случаев, а
именно когда величина а - отношение силовых постоянных центральных и
нецентральных сил - была равна 8 и 16. Результаты расчета изображены на
фиг. 23.
Интересно отметить, что для случая трех измерений в отличие от случаев
одного и двух измерений тот факт, что масса замещающего атома меньше
массы регулярного атома или что новая связь жестче, чем регулярная, еще
не обусловливает автоматически появления примесной частоты. Чтобы такая
частота появилась, необходимо выполнение некоторого неравенства, куда
вхо-
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 223
дят массы и силовые постоянные, связанные с дефектом. В случае
изотопического дефекта, для которого М' = (1-е)М, эти условия можно
представить в следующем простом виде:
1 >е>[2(2 + а)/(0, 0, 0; а; I)]"1. (5.5.41)
где интеграл /(О, 0, 0; а; 1) определен формулой
е
Фиг. 23. Частота локального колебания, обусловленного наличием примеси
легкого изотопа, в моноатомной простой кубической решетке как функция от
е = (М - М')/М.
М и М' - соответственно массы основного атома и атома прнмесн. Отношение
постоянных центрального и нецентрального взаимодействий обозначено через
О.
(5.4.10); Монтролл [62] вычислил этот интеграл в конечном виде.
Комбинируя формулы (5.3.59) и (5.3.60), можно записать выражение для
частоты локального колебания, обусловленного наличием изотопической
примеси в
224
Глава V
кубической решетке Бравэ, в виде
1 = ео>2 J o)>o)t.
о
Недавно несколько авторов [379-3811 показали, что решения
модифицированного уравнения
1 =е<??Р f dt 0 < о < о)?
о
также представляют интерес. "Колебания", частоты которых определяются
этим уравнением, называются резонансными, или квазилокальными, и не
являются истинными колебаниями разупорядоченной решетки в отличие от
локальных колебаний. Поскольку они имеют место в том интервале частот,
где плотность колебательной энергии g(<o) отлична от нуля, то можно
считать, что они входят в континуум зонных колебаний и приобретают
ширину, или время жизни. Резонансные колебания обусловливают появление
пиков в частотных спектрах возмущенного кристалла [370], в инфракрасных
спектрах поглощения ионных кристаллов с примесями [382] и в кривых
эффективного поперечного сечения комбинационного и когерентного рассеяний
нейтронов на разупорядоченных кристаллах [379]. Эти колебания вызывают,
кроме того, падение температурной зависимости теплопроводности кристаллов
с примесями [383], приводят к возрастанию теплоемкости при низких
температурах у кристаллов, содержащих примесь тяжелого изотопа [384], а
также обусловливают появление пика на кривой эффективного сечения
резонансного поглощения у-лучей ядрами, закрепленными в кристаллической
решетке [368]. За более детальным обсуждением влияния резонансных
колебаний на динамические свойства кристаллов отсылаем читателя к
цитированной выше литературе.
Вторым случаем, в котором определитель можно записать в сравнительно
простом виде, будет случай, когда массы и силовые постоянные центральных
сил взаимодействия между ближайшими соседями для за-
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 225
мещающей примеси и для регулярного атома различны [73]. В этом случае
будем иметь
|AWI={l+^||(°, 0, 0) -g(2, 0, 0)]}Х Х{! +JTrLte(°' °> 0)-2g(l, О, 0) +
*(2, 0, 0)1-
- ¦2 (1- тг) I* (°* °* °) ¦- * ¦ °' 0)1} • <5-5-42>
где М и у - масса и силовая постоянная центральных сил для регулярных
атомов, а М' и у' - соответствую-
Фиг. 24. Частота локального колебания в трехмерной моноатом* ной простой
кубической решетке, обусловленного наличием примесного атома с массой М'
и постоянной центрального взаимодействия у'.
Здесье-{М-М'ЦМ и r|="(Y'-Y)/Y> где М н у-масса и постоянная центрального
взаимодействия для атомов основной решетки. Отношеине постоянных
центрального и нецентрального взаимодействий для основной решетки равно
8.
щие величины для примесного атома. Результаты расчета примесных частот
приведены на фиг. 24, откуда видно, что при любых значениях параметров
примесного
15 Зак. 1491
226
Глава V
атома лишь одна частота отщепляется вверх от зоны разрешенных частот. Из
фиг. 24 видно также, что если связь с дефектом будет достаточно жесткой,
то примесная частота может появиться даже в том случае, если масса
примеси больше массы регулярного атома.
В случае трех измерений, как и в случае одного измерения, дефектам,
находящимся на большом расстоянии друг от друга, соответствуют
вырожденные примесные частоты, совпадающие с примесными частотами
изолированных дефектов. При сближении дефектов вырождение снимается. Этот
результат легко получить в конкретном случае двух изотопических дефектов,
расстояние между которыми определяется числами (mi, m2, m3). Уравнения
