Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
именно Q=n+iz, причем для определения z имеем
ecthi- = th^__*l. (5.5.7)
14*
212
Глава V
Решение этого уравнения имеет вид
г = 1п1±1, (5.5.8)
что приводит к следующему значению частоты:
(c) = - • (5.5.9)
V\- е* 4 '
Этот результат можно получить более непосредственно из уравнений (5.5.5)
и (5.4.7а). Рассматриваемая частота лежит над зоной разрешенных
частот, и поскольку
она соответствует комплексному значению волнового
вектора <р, то соответствующее нормальное колебание будет локальным,
амплитуда его экспоненциально убывает по мере удаления от дефекта
ип = eMaPg (п) Uq =
= (-1)" (тТг)|П|а°* (5-5Л°)
Заметим, что при М! -* М(е -*0) примесная частота возвращается к верхнему
краю зоны разрешенных частот, в то время как при Af'-*0(e-"-1) примесная
частота обращается в бесконечность, что соответствует уменьшению числа
степеней свободы решетки на единицу.
Другим весьма простым дефектом является наличие одной аномальной связи.
Если силовую постоянную связи частиц в узлах решетки 0 и 1 заменить на
у", оставив все остальные силовые постоянные по-прежнему равными y, то
определитель |Д((c)) | примет вид
14 (") | = 1+ 2 (у-Г) [г (0) - g (1 )| =
=т{1~(1-т)1к!с,г(tm)}- <5-5Л1)
Характеристическое уравнение |Д((c))|=0 легко приводится к виду (5.5.6) с
той разницей, что в нем вместо величины е будет стоять величина Р=( 1-
у/у")', следовательно, и в этом случае будут справедливы результаты
анализа уравнения (5.5.6). В частности, при Р<1 получаеГся примесное
колебание с частотой
(c) = , ** = . y7v (c)i, у" > у. (5.5.12)
yi - P* у 2 (y'Vy) -1
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 213
Эта частота соответствует антисимметричному колебанию, в котором
расположенные на концах аномальной связи атомы колеблются в противофазе.
Примесную частоту, соответствующую вакансии в линейной цепочке, можно
найти из уравнения (5.5.1), положив в нем М'-О и у'>у. Чтобы понять,
почему вакансии в кристаллической решетке отвечает именно такой выбор
величин М' и у', надо рассмотреть, что происходит при удалении атома из
одного из узлов мо-ноатомной решетки. Очевидно, соседние с вакансией
атомы будут стремиться сдвинуться в направлении к вакансии, поскольку в
этом случае отсутствуют силы отталкивания, которые удерживали их в
положении равновесия. Мы учтем в модели эту тенденцию, либо вводя более
сильную, чем регулярная, связь между вакантным узлом и соседними с
вакансией атомами {у'>у), либо (видоизменяя модель) полагая, что между
атомами на противоположных сторонах вакансии действуют упругие СИЛЫ С
СИЛОВОЙ ПОСТОЯННОЙ у"= (ll2)y'> (*/2) Y* Эт0 приводит к следующему
уравнению:
(y' - Y) [g(0) - g (2)] = - l) [sin 0ctg - cos 0] = 1
(5.5.13)
для определения возмущенных частот. Его можно решать методом
последовательных приближений. В частном случае примесной частоты получаем
4-(y7y)
"-?<v'/y)-i Y>y- (5-5Л4)
Примесное колебание, соответствующее такой частоте, будет
антисимметричным пульсирующим колебанием. Интересно отметить, что частота
пульсирующего колебания, соответствующая вакансии и определяемая формулой
(5.5.14), совпадает с частотой, соответствующей случаю одной аномальной
силовой постоянной, если в формуле (5.5.12) положить у" = Ч2у'. Этот
результат, по-видимому, можно использовать для упрощения
214
Глава V
расчетов влияния вакансий на колебательные свойства кристаллов.
Выше мы рассмотрели все простые (т. е. аналитически разрешимые) задачи об
изолированных дефектах в линейных одномерных решетках. Перейдем теперь к
исследованию влияния некоторых дефектов на термодинамические функции
решетки.
В частном случае изотопического дефекта в одномерной решетке формула
(5.5.3) приводит к соотношению
|А(/Л1 = 1 +eMo|ftr(0; lf) = 1 ~у=^г> (5-5.15)
так что
Q(f) =------------------------------. (5.5.16)
У1> (1 + Р) -8/ (/2 +1) 1 '
Используя формулы (5.3.32а) и (5.3.34), мы найдем, что в случае низких
температур приращение свободной энергии, обусловленное наличием дефекта,
будет равно
д f = у 4- (1 - eTV' arccos (~ 8>] +
При повышении температуры приращение свободной энергии возрастает, если
замещающий примесный атом легче, чем регулярный атом (е>0), и убывает,
если примесный атом тяжелее регулярного (е<0). В работах [225] и [231]
произведены аналогичные расчеты для общего случая точечного дефекта с
массой и силовыми постоянными взаимодействия с ближайшими соседями,
отличающимися от соответствующих величин для регулярного атома.
Для высоких температур общий случай точечного дефекта почти так же легко
исследовать, как и случай изотопической замещающей примеси. Используя
формулы (5.5.3), (5.3.27) и (5.3.40) для вычисления свобод-
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 215
ной энергии в случае высоких температур, находим ln^|4(f=0)| = l"[(i)i",]
так что в этом случае
6F-W*(r)?r+"{*[M'+2h']№f-
-ш[&) (^г+^)+т(1+7)"1](^)+"1
(5.5.19)
Маханти и др. [225], используя метод, предложенный Танака1), рассчитали
