Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
соответствующей изолированному дефекту. При уменьшении расстояния между
дефектами вырождение снимается и происходит расщепление частот, вначале
симметричное. Однако две
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 219
примесные частоты выпадают из зоны разрешенных частот не для всех
конечных расстояний. Из уравнения
(5.5.30) видно, что если в выражении, стоящем в правой части, взять
знак минус, то решение этого уравнения всегда существует, но если взять
знак плюс, то этого утверждать нельзя. В самом деле, легко показать, что
в этом случае существует лишь одно решение: г=0 (co=*(0l), если только не
выполняется условие 4те>1. В том же случае, когда это неравенство
выполняется, появляется и второе решение: z>0. Уравнение (5.5.30) было
решено в этом случае методом итераций, причем в качестве начального
приближения было взято решение при т=оо. В результате получили
Энергию взаимодействия пары изотопических дефектов при низких
температурах можно найти способом, использованным в случае одного
дефекта. Однако в общем случае возникает необходимость вычисления сложных
интегралов, и поэтому обычно переходят к рассмотрению "слабого дефекта",
представляя свободную энергию в виде ряда по степеням параметра е. В
случае пары различающихся изотопических дефектов в линейной цепочке, один
из которых находится в точке - т, а другой в точке т, величина| Дор ((c)) |
определяется формулой (5.5.27), так что выражение для ДЕ0 принимает вид
Монтролл и Поттс [75] вычислили этот интеграл в пределе "слабого дефекта"
и получили
eaepAfa(D4g (2 от; 1а)
}. (5.5.32)
[1 + taM<n?g (0; йо)] [1 + (0; /<o)J
(5.5.33)
220
Глава V
где
(*) = -57 In Г (г).
Для больших расстояний полученный результат принимает вид
. - ЙШ/в"во с 1 2 ч
л {т8й)Г~'(8т)б'-*~ (5-5-34)
Отсюда видно, что два однотипных изотопических дефекта (са и ер одного
знака) притягивают друг друга, в то время как дефекты разных типов
отталкивают друг друга.
Чтобы найти для случая низких температур зависящую от температуры часть
свободной энергии, можно использовать метод, примененный ранее для
вычисления свободной энергии одного изотопического дефекта. В пределе
"слабого дефекта" величина Q(f) оказывается следующей:
Q(/) = -eaepAf2">2^(^(2m; //)) =
_ ( (8mj* + 2f)(VT+P-f)Sm
- (l-f/8)*
8mfHVTTfi-iy>m ) "г,.
(1 fty j * vO.O.OOj
Отсюда, учитывая формулу (5.3.34), получаем л с ас kT ( 8я4т / кТ \з .
+Tgjf - (64т3+48т2 + т) + ...}. (5.5.36)
Разложение такого вида полезно в основном при малых расстояниях между
дефектами. Для больших значений величины m можно использовать
асимптотическое представление функции Грина g(n; if) =- e~2^t/4yf, так
что
00
А/.------sin (a^rf {/?"-"-/) "
о
128eaeean J 8m3 3 ma\ \
~ я \ (64m3-fa2)3 8 (64m3-fa2)3/'
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 221
Подставляя это выражение в формулу (5.3.30) и суммируя по я, получаем
AF = AE0 - IJ^-J X
X {32"8Л(^-)-4"(-5^)Ч(^~)}. (5.5.38a)
где
OF (r\ Зя . я8 ch ях , Зя" 1 ,
1' ' 8xs ' 4** sh3 nx ' 8jc4 sh* nx '
+ ^ (cth ял: -1) - , (5.5.386)
2F2(X) = 23^- + 2x2 sh* nx + 2F (Cth JlX~
При вычислении свободной энергии для высоких температур можно
использовать метод моментов, однако гораздо более удобен метод, который
был использован при выводе формулы (5.3.45). В рассматриваемом случае в
пределе слабого дефекта
еае3(2яДГ)' _
| \ ЙС0Д /1 (ha>Ly + (2njkT)* А
х[/й^7-^Г-
Разлагая это выражение в случае T>hu>Ll2nk в ряд по обратным степеням Т и
подставляя его в формулу (5.3.45), мы получим окончательно
bF(T)-t.4kT(*ЭД* [iSSr-
Ат+7)тёт%гШг+ •••]¦ <5-5-39"
где Вгт - числа Бернулли. Отсюда видно, что и для высоких температур по-
прежнему однотипные дефекты притягиваются, а разнотипные отталкиваются.
Мы видим, что если первый не обращающийся в нуль член в разложении
энергии по обратным степеням температуры Т рассмотреть в пределе слабого
дефекта, то
222
Глава V
степень Т в этом члене зависит от удаления дефектов друг от друга. Такое
поведение энергии взаимодействия отмечалось Монтроллом и др. [231],
использовавшими метод моментов. Однако по мере удаления дефектов друг от
друга вычисления по методу моментов становятся все более трудоемкими.
Перейдем теперь к рассмотрению влияния дефектов на колебания трехмерных
решеток. В случае одного примесного замещающего атома, отличающегося от
регулярного атома как массой, так и силовыми постоянными связей с
ближайшими соседями, определитель |А((о) | будет определителем седьмого
порядка, общий вид которого приведен в работе [230] и который мы здесь не
будем выписывать. Зависимость этого определителя от (о может быть
установлена только численно. Отсутствие до последнего времени точных
таблиц функции Грина, входящей в этот определитель, привело к тому, что
такие вычисления пока не производились.
Однако в двух представляющих интерес случаях определитель упрощается. В
случае изотопического дефекта, масса которого М' связана с массой
регулярного атома М соотношением М'-( 1 -е)М, мы имеем
