Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
приращение спектра колебательных частот в линейной цепочке при внедрении
одного изотопического дефекта, масса М' которого связана с массой М
регулярного атома соотношением М'= = (1-е)М. Эти вычисления громоздки, и
мы их приводить здесь не будем. В результате было получено
* / \ е I
[а*+(е2_1)ш2]+
2и / а"? \ (c)
+тг6(т=з-V-rbH-^ 0<s<1',"". i.i 4 (5-5-20)
Да ((о) = -тт----- ...
* ["? + (,"_ 1)(й2] г
е<о-
Интересно, что примесную частоту (в случае е>0) можно рассматривать как
обусловленную в равной мере сдвигами зонных частот и отщеплением
максимальной
') Т. Tanaka, не опубликовано.
216
Глава V
частоты от зоны. Тот же результат другим путем был получен Литцманом
[191]. Легко проверить, что для величин, определяемых формулой (5.5.20),
выполняются соотношения (5.3.25а).
Зная приращение спектра частот kg(a>), например, в виде (5.5.20), легче
вычислять различные термодинамические функции непосредственно, чем при
помощи методов, описанных в двух предыдущих параграфах; однако очень
трудно найти такое выражение для возмущенного спектра частот в конечном
виде. Пожалуй, формула (5.5.20) представляет собой единственное известное
в настоящее время точное решение. Поэтому в нашем изложении мы обращали
особое внимание на те способы расчета аддитивных функций частот
нормальных колебаний, которые не требуют явного вычисления спектра
частот.
Если звуковая волна, распространяющаяся слева направо в кристалле, падает
на дефект или на примесь, то она, вообще говоря, будет рассеиваться. В
одномерном случае сечение рассеяния можно найти простым сшиванием
проходящей и отраженной волн в точке расположения дефекта. В трехмерном
случае этот способ применять нельзя и надо использовать метод функции
Грина.
Если звуковая волна рассеивается одним изотопическим дефектом, то решение
системы уравнений движения (5.5.1) в одномерном случае можно записать в
виде
ип = eir*<t + CffiMaPg (п), (5.5.21)
где ф-постоянная распространения падающей волны. Если подставить (5.5.21)
в (5.5.1) и учесть, что первое слагаемое в правой части формулы (5.5.21)
удовлетворяет системе уравнений движения идеальной решетки и
соответствует частоте (c)g=(c)i,sin^/2), то мы получим следующее уравнение
для определения постоянной с0:
с0=1 + c0eM(>>2g(0).
Решением этого уравнения будет
с°= l + ietg(9/2)' (5.5.22)
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 217
причем мы здесь использовали формулу (5.4.9). Окончательное выражение для
величин ип принимает вид
"n == 1 -f ie tg (ф/2) ' л > 0" (5.5.23а)
"<о. (5.5.236)
Коэффициенты прохождения и отражения в этом случае определяются формулами
г=(1+е'<в'|)"=(1+е'^)'\
V ' L ' (5.5.24)
/?=e2tg2-|(l -be2tg2^ =e2(02[со|-to2(1 - e2)]~'.
Для сравнения мы приведем выражения для этих коэффициентов, вычисленных в
первом борновском приближении:
т=х-(ч)''
Hfr- (5'525)
Видно, что даже при небольших значениях отношения <a2/">i результаты,
полученные в борновском приближении, отличаются от точного решения
(5.5.24).
При внедрении в линейную цепочку пары дефектов возникают некоторые
особенности. Определение зонных частот для случая изотопических дефектов
было произведено Монтроллом и Поттсом [185] и Хори и Асахи [194].
В случае пары различающихся изотопических дефектов, массы которых равны
Afa = (1 - еа)М и М&=
- (1 - 6p)iM и которые расположены соответственно в узлах п=+т и п=-
т, определитель |А(ю) | принимает вид
ea7Ho)2g (0) - 1 epAfci)2^ (2m)
eaM(D2g (2m) tfrMuPg (0) - 1
IA HI
(5.5.26)
218
Глава V
Уравнения, определяющие возмущенные частоты нормальных колебаний, имеют
вид
2е0ерЖ(c)2 [g2 (0) - g2 (2m)] = (еа + ер) g (0) ±
± [(еа - ер)2 g2 (0) Н- 4eaepg-2 (2т)]Чг. (5.5.27)
Эти уравнения можно решать только численно. Однако, пока мы интересуемся
лишь качественными результатами, можно ограничиться случаем одинаковых
изотопических дефектов еа = ер, для которых уравнение
(5.5.27) приводится к следующему виду:
tMaPg (0) = 1 ± tMdPg (2т). (5.5.28)
Можно показать, что если в этом уравнении выбрать верхний знак, то
полученное решение будет соответствовать антисимметричным колебаниям.
Выбор нижнего знака соответствует симметричным колебаниям. Оба
рассматриваемых уравнения можно представить в виде
rtrr N0 . е-1 ctg (0/2) ± sin 2m0 - 0f).
Ct& ------------2 sin2 m0-----' (6.6.Л)
Эти уравнения исследовались графически, и в результате оказалось, что
частоты антисимметричных колебаний уменьшаются при е<0 и возрастают при
е>0. Более того, если в последнем случае величина е будет достаточно
большой, то одна частота может отщепиться от верхнего края зоны
разрешенных частот. Частоты симметричных колебаний сдвигаются вниз при
е<0 и вверх при е>0. В последнем случае одна из частот всегда отщепляется
от зоны разрешенных частот.
Уравнения для частот локальных колебаний имеют вид
е cth -jj- = 1 ± ecth-j е~2тг, (5.5.30)
где мы положили f=o"/coi.=ch(z/2). При т-*оо оба решения стремятся к
пределу z=2arcthe, или f= = (1 -е2)_|/', т. е. к примесной частоте,
