Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
функции обладают следующими свойствами:
[ cos кх sin lx dx = 0,
0 (k + D,
TZ (* = 0,
0 (П)
7Г (*=/),
1) И (11), после несложных
(к, 1 = 1,2, .-¦)•
Воспользовавшись формулами преобразований получаем из (9):
Га:=i ] fZ{x) dx -0~^-+j 2S К*"- а*)2ч" №*- ¦
-x t = ]
2 ¦, "
on 1 vi
fr=l
В этом выражении переменными являются as и р*. Мы должны их выбрать так,
чтобы Л2 было 'наименьшим. Это будет, очевидно, тогда, когда члены,
зависящие от at и [3*., равны нулю, т. е. когда коэффициенты при
косинусах и синусах в заменяющей функции (8) равняются соответствующим
коэффициентам Фурье.
32
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Ошибка при таком апроксимировании [при таком выборе функции <р(-х)] равна
д~~2 f4x)dx-al~\ V K + bl). (12)
-тс
Здесь нужно отметить следующие два замечательные обстоятельства.
Допустим, что мы прибавляем к заменяющей функции (8) еще один член с ? =
ш-1. Тогда оказывается, что при наилучшем апроксимировании коэффициенты
при прежних членах останутся теми же, что и раньше. Ниоткуда не следует,
что в задачах об апроксимации функций дело будет так обстоять всегда. Но
в данном случае наилучшая апроксимация п членами не зависит от
последующего улучшения апроксимации: первые члены не нужно пересматривать
при добавлении новых. Это объясняется тем свойством синусов и косинусов,
что интеграл за период 2~ от произведения любых двух различных функций из
совокупности coskx, sin?jc (к - 0, 1, 2, ..., п) равен нулю [формулы
(11)]. Функции, обладающие таким свойством, называются ортогональными
функциями.
Совокупность функций
cos t, cos 2t, cos 3t, ... sin t, sin 21, sin 31, ...
является примером совокупности ортогональных функций в интервале (--, -+-
7г).
Перейдем ко второму замечательному обстоятельству. Возникает вопрос:
является ли система функций
cos кх, sin кх (к = 0, 1, 2, ..., п) (13)
замкнутой, т. е. существует ли периодическая функция с периодом 2~,
которая была бы ортогональна ко всем этим функциям? Оказывается, что при
л = оо всякая функция, ортогональная ко всем функциям (13), равна
тождественно нулю, т. е. при п-со система (13) - замкнутая.
Вернемся к выражению (12) для средней квадратичной ошибки. Чем больше
берется членов в заменяющей функции (8), тем ошибка
ТРЕТЬЯ ЛЕКЦИЯ
33
меньше. Теорема Фурье заключается в следующем: при некоторых условиях1
бесконечный ряд
СО
^ {a* cos кх -+- hi s,\nkx) (14)
fc=i
сходится и представляет собой функцию f(x).
Обычно начинают изложение с задачи о точном представлении функции
тригонометрическим рядом. Но физик не может работать с бесконечным числом
членов. Поэтому для него важна именно та задача, с которой мы начали, -
задача об апроксимации.
Оч знь важно выяснить, всякую ли периодическую функцию можно представить
в виде ряда Фурье (14)? В связи с этим интересно проследить историю
задачи о представлении функции рядами Фурье. Первый вопрос, который здесь
возник, был общий вопрос о том, что такое функция.
Эйлер считал, что существуют аналитические и геометрические функции. Мы
получаем, говорил он, аналитические функции, беря такие выражения, как х,
х2, sin х и т. д. Мы получаем геометрическую функцию, если опишем
"свободной рукой" произвольную кривую2. Эти воззрения не отвечают
современному определению функции: у есть функция от х, если каждому
значению х соответствует определенное значение у.
Бернулли, получив решение в виде тригонометрического ряда3 (т. е., по
Эйлеру, в виде "аналитической функции"), утверждал, что им получено общее
решение, что так можно представить любую функцию.
Это казалось невероятным. Ведь коэффициенты ряда
а1> (r)2> ¦ ' *> ^1" ^*2" • • • образуют счетное множество, в то время как
"число" значений функции гораздо больше, множество этих значений более
мощное. Тем не менее Фурье имел смелость сказать, что совершенно
произвольная (графически заданная) непрерывная функция может быть
представлена в виде тригонометрического ряда. И это правильно, потому что
(как теперь известно) непрерывные функции
1 [См. ниже.]
2 [См., например, С. Н. Бернштейн. Исторический обзор развития понятия
функции. Вестник опытной физики и элементарной математики, № 559, сем.
47, стр. 177, 1912.]
[См. 32-ую лекцию и 5-ую лекцию части II.]
3 Л. И. Мандельштам, том IV
34
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
вовсе не так разнообразны, как это кажется на первый взгляд Достаточно
задать непрерывную функцию в рациональных точках чтобы определить ее
полностью. Другими словами, непрерывны функции задаются совокупностью
своих значений в рациональны. точках. Но эти точки составляют множество
такой же мощност* как и коэффициенты разложения (счетное множество). Если
mi примем это ЕО внимание, то нас уже не удивит возможност представить
любую непрерывную функцию в виде ряда Фурье
Но плохо, если что-нибудь становится "слишком" понятныл Я боюсь, что
разложение в ряд Фурье уже кажется чем-то сам собой понятным. Это не так:
с бесконечными совокупностям нужно обращаться осторожно. Например,
