Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
определив свойство почти-периодичности, показала, что класс функций,
обладающих этим свойством, совпадает с классом функций, которые могут
быть представлены в виде ряда гармонических колебаний. Кроме этой
основной теоремы, я пока что не нашел в математической теории почти-
периодических функций чего-либо, что имело бы очень большое значение для
теории колебаний.
Исследуем задачу о сложении двух гармонических колебаний, отличную от
той, которую мы рассмотрели раньше, когда скла-
1 [Г. Бор. Почти-периодические функции. М.-Л., 1934.]
ПЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
47
дывались движения в одном направлении. Представим себе теперь, что какое-
то тело качается в определенном направлении и его смещение есть
x = axcos (wj? - 9J, (1)
а некоторая точка колеблется в перпендикулярном направлении и ее смещение
по отношению к этому телу есть
У - а2 cos (<"2f - <р2). (2)
Тогда точка опишет некоторое сложное результирующее движение. Как
говорят (не совсем точно), точка одновременно участвует
в двух движениях. (Возникает вопрос, можно ли складывать перпендикулярные
скорости. Это можно делать, если движение в одном направлении не зависит
от движения в другом направлении.)
Уравнения (1) и (2) являются параметрическими уравнениями траектории
точки. В случае, когда Wj = со2 = <о, исключить из них t очень легко. Это
можно сделать изящным способом, но можно пойти и лобовым путем: решить
уравнения (1) и (2) относительно sin<o? и cos wf, как два линейных
уравнения с двумя неизвестными, возвести затем полученные выражения в
квадрат и сложить. Это даст уравнение траектории в виде
-•Г ~1" ~Y ~ ~~ cos (?i - ?а) = si°2 (9i - ?г)- (3)
аг а2 ai"2
Таким образом, траектория представляет собой эллипс с центром в начале
координат. С самого начала можно сказать, что эллипс заключен в
прямоугольнике
х = ±аи у = ±а2.
Форма же эллипса и то, как он повернут, зависит от разности фаз 9j - ф2.
Здесь интересно то, что по направлению осей эллипса можно определить
разность фаз.
Пусть
?i - <р2 = ±2л7т (п - 0, 1, 2,...).
Тогда
(------------= 0. (4)
\а2 а2)
48
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Пусть
ь - ъ = ±п1: (л = 1, 3, 5,...),
тогда
(5)
Уравнения (4) и (5) -это уравнения прямых, проходящих через начало
координат. Таким образом, когда колебания совершаются с одинаковыми или с
противоположными фазами, эллипс (3) вырождается в отрезок прямой.
Эти вещи играют фундаментальную роль в оптике при рассмотрении
двоякопреломляющих тел. С ними связана целая глава
ющих колебания различны, и они выйдут из пластинки с различными фазами.
Значит, луч выйдет из пластинки (вообще говоря) эллиптически
поляризованным. Таким образом, пластинка превращает прямолинейно
поляризованный луч в эллиптически поляризованный.
В частном случае, когда
имеем из (3):
т. е. эллипс с главными осями, направленными по осям х и у. Если, кроме
того, а1 - а2, то получается окружность. Таким путем получают свет,
поляризованный по кругу.
Посмотрим, что будет, если частоты Wj и о>2 не равны друг другу, но
разность их очень мала. Для глаза это значит, что
физики - кристаллооптика. В двоякопреломляющих телах световые колебания
распространяются с разной скоростью, в зависимости от того, происходят ли
они в направлении перпендикулярном или параллельном оптической оси.
Рис. 6,
Пусть на пластинку (риб. 6) падает прямолинейно поляризованный свет.
Скорости распространения двух взаимно перпендикулярных составля-
ь-ь=±
2 '
ПЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
49
числа колебаний в секунду отличаются меньше, чем, скажем, на 10. Мы можем
тогда сказать, что имеются два колебания с одинаковой частотой, но
разность фаз между ними медленно меняется. Эллипс не будет неподвижен, а
будет медленно поворачиваться. Получается последовательная смена тех
картин, которые соответствуют разным о,-<р2 и о которых мы только что
говорили.
Пусть теперь частоты и разнятся как угодно. Здесь интересно следующее.
Математика показывает, что если частоты соизмеримы, то получается
замкнутая кривая, если несоизмеримы - незамкнутая. Но ведь физика ничего
не знает о соизмеримых или несоизмеримых числах, в физике это различие не
играет роли... Получается так, будто бы я только что указал на различие
между обоими случаями, а теперь от этого отказываюсь. Позвольте привести
аналогию.
Химики мне не простят, если я скажу, - а я это скажу, - что закон кратных
отношений в общепринятой формулировке не имеет никакого смысла. Пусть
соединяются элементы А и В. Тогда, как говорят обычно, В вступает в
реакцию с заданным количеством элемента А в количествах, относящихся
между собой, как целые числа. Говорят иными словами, что эти количества
элемента В всегда соизмеримы. Я утверждаю, что это высказывание не имеет
содержания: задав любые соизмеримые числа,
всегда можно подобрать такие, близкие к ним, несоизмеримые числа, что
нельзя будет различить одни от других. Что же имеет в виду химия? Что
количества элемента В, соединяющиеся с данным количеством элемента А,
