Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
путей разность фаз
2тс , .
9 = у a sin а.
В фокусе линзы происходит; сложение т когерентных колебаний (т - число
щелей решетки). Результирующее колебание в точке наблюдения есть
COS (at -+- COS ((at -+- 9) -+- COS ((at -+- 29) -4- . . . -t- COS [">f -
+- (m - 1) 9]. (3)
28
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Непосредственно сложить эти т членов не так просто. Воспользуемся,
однако, комплексным представлением: первый член суммы есть действительная
часть от е,а*, второй - действительная часть от е,(-ш1+^ и т. д.
Как известно, действительная часть суммы комплексных величин есть сумма
действительных частей слагаемых (но действительная часть произведения не
равна произведению действительных частей). Сумму комплексных величин
найти очень просто: это сумма геометрической прогрессии с показателем
e,!f. Она равна ,'Ш< е'т' - 1
ь
- 1
(4)
Сумма (3) равна действительной части этого выражения. Но часто нас
интересует только квадрат амплитуды колебания (3), т. е. квадрат
амплитуды А действительной части комплексного выражения (4). Согласно (2)
1 - cos mtp
. т<?
sin- -2-
1 - cos <
Рассмотрим еще одно свойство комплексных величин, которое также играет
существенную роль в том, почему они так часто употребляются в теории
колебаний.
Пусть дана комплексная функция времени
Ее производная есть
f(t) -+- ig (t). /-*- lS,
т. e. действительная часть от производной комплексной функции по
действительному аргументу есть производная от действительной части
функции.
Пусть у нас есть дифференциальное уравнение
(5)
ТРЕТЬЯ ЛЕКЦИЯ
29
Можно найти частное решение этого уравнения, работая с косинусом и
синусом, но проще сделать так. Напишем другое дифференциальное уравнение:
у-t-ky-t- ^ly = еш и будем искать решение нового уравнения в комплексной
форме:
у = Аеш. (6)
Тогда для А получается простое уравнение А (-и2 -I- iu>& "а*) еш = е'и '.
Действительная часть получаемого таким путем выражения (6) будет
удовлетворять интересующему нас дифференциальному уравнению (5). Это
возможно лишь потому, что при подстановке (6) в дифференциальное
уравнение мы только дифференцировали и складывали.
Все это важно и полезно, но нужно знать, когда так делать нельзя. Пусть,
например,
уу = cos <*>t.
Можно ли решать это уравнение, заменив правую часть на e,lL<? Нельзя, и
эта замена ничего не даст, потому что действительная часть произведения
не есть произведение действительных частей.
Пусть y - acos<"t есть ток. Количество тепла, выделяющееся в единицу
времени в сопротивлении R, равно
Ry2 = Ra2 cos2 a>t.
Мы не получим правильного значения этого выражения, если напишем y=aemi,
возведем в квадрат и возьмем действительную часть: действительная часть
квадрата не есть квадрат действительной части.
Итак, комплексные величины представляют большое удобство, но, пользуясь
ими, нужно остерегаться нелинейных операций.
Перейдем теперь к рассмотрению функций периодических, но не
гармонических, - к рядам Фурье. Вся теория этих рядов возникла из физики
- из вопроса о колебаниях струны. Недаром известный математик Клейн
настаивал на том, чтобы вопрос о разложении в ряд Фурье излагался физикам
иначе, чем это обычно делают математики.
30
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Предположим, что мы имеем периодическую функцию f(x). Для простоты примем
период равным 2т (отсюда легко перейти к функции с любым периодом). Можно
ли апроксимировать f(x) другими периодическими функциями 9 (х), т. е.
заменить f(x) другими периодическими функциями так, чтобы ошибка при
замене была очень мала?
Нужно выбрать какую-нибудь меру ошибки. В качестве такой меры возьмем
среднюю квадратичную ошибку:
+ТС
^ = V(x)-?(x)}2dx. (7)
- ТС
Это - принимаемое нами определение погрешности. Мы будем апроксимировать
так, чтобы средняя квадратичная ошибка была возможно меньше. Если бы,
например, мы выставили требование, чтобы интеграл
+тс
А-if(x) - <t(x)\dx
- тс
(средняя ошибка) был возможно меньше, то ни к чему хорошему это не
привело бы. Могло бы быть так, что средняя ошибка равна нулю, между тем
как на больших интервалах существуют громадные (по абсолютной величине)
отклонения <р(х) от f(x). При выбранной нами мере ошибки этого не может
быть. Но вместе с тем ясно, что это не единственно возможный целе-
сообразный^ выбор.
Возьмем в качестве заменяющей функции <р(х) периодическую функцию
П
S" = -у- -+- (a* cos кх (3tsin?x) (8)
к=1
с тем же периодом 2т., что и исходная функция f(x). Вопрос ставится так:
нужно выбрать (2п-+-1) коэффициентов а0, а2>
х2, ..., рц р2, ... таким образом, чтобы средняя квадратичная ошибка (7)
была возможно меньше. Подставим (8) в (7):
A2 = i J J f(*)dx-+-
-ТС У -тс
ТРЕТЬЯ ЛЕКЦИЯ
31
¦+" 2 ^ I -^(х)cos dx J f{x)s,mkxdx J-+-
fc = l -71 -71
"*'ТГ Г~ и "12
-+- J ~7?~¦+¦ (at cos кх ¦+¦ (St sin кх) dx.
- 71 fc = 1
Введем далее величины:
-*-Л -|-7С
1 Г 1 г
t = -~ j f{x) cos kxdx, bk = - j /(x) sin kxdx
(9)
af-
(10)
(к = 0, 1, 2, .. n),
которые называются коэффициентами Фурье функции /(лг). Гармонические
