Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
энергию на поддержание их колебаний; уход энергии покрывается работой,
совершаемой над источником. Если энергии уходит больше или меньше, чем
сумма того, что давали бы отдельные источники, в этом еще нет нарушения
закона сохранения энергии. Нарушение было бы, если для поддержания
колебаний нужно было затрачивать сумму тех работ, которые требуются в
случае отдельных источников. Но ведь нигде не сказано, что внешние силы,
раскачивающие электроны (источники света), совершают одинаковую работу и
тогда, когда раскачивается отдельно взятый электрон, и тогда, когда этот
электрон раскачивается в присутствии другого, тоже колеблющегося,
электрона. Если энергии излучается больше, то и работы вкладывается
больше, и, таким образом, закон сохранения энергии полностью соблюдается.
Аналогичный вопрос встретился и в радиотелеграфии. Речь шла о затухающих
колебаниях, которые не поддерживаются извне и уменьшаются вследствие
излучения. Пусть совместно излучают две антенны. Затухание -то же самое,
что и у одной антенны, а излучаемая энергия может оказаться больше, чем
сумма энергий, которые излучались бы отдельными антеннами. Опять
противоречие? Но откуда взято утверждение, что затухание то же, что у
одной антенны? В действительности затухание каждой антенны вблизи другой
меняется и как раз настолько, насколько меняется энергия при совместном
излучении обеих антенн.
ПЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
45
ПЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
(Октябрь 193Э г.)
Почти-периодические функции. Сложение взаимно перпендикулярных
гармонических колебаний одинакового периода. Сложение взаимно
перпендикулярных колебаний, имеющих различные периоды. Соизмеримость и
несоизмеримость периодов. Радиоприем "посредством биений". Роль
нелинейности. Детекторы. Выпрямление. Образование разностного тона.
Некоторые методы экспериментального исследования колебаний.
Как мы видели, сумма двух гармонических колебаний с разными периодами не
может быть представлена как одно гармоническое колебание. Эта сумма -
непериодическая функция, если периоды несоизмеримы. Когда и со2 близки,
сумму можно представить как "гармоническое колебание с переменной
амплитудой и переменной фазой". Мы выяснили, при каких условиях можно
пользоваться таким представлением.
Примеры явлений, в которых имеет место сложение гармонических колебаний с
разными периодами, очень многочисленны. Вот два простых примера:
колебание фонаря, подвешенного на пловучем маяке, и колебание языка
колоколах. Еще один пример: в приливах и отливах мы имеем дело с
периодическими силами, обусловленными Солнцем и Луной. Периоды этих сил
различны. Возникают биения, - это сизигийные и квадратурные приливы,
получающиеся в зависимости от относительного расположения Солнца и Луны.
Необходимо отметить, что элементарная статическая теория приливов
неправильна. Здесь происходит типично колебательное явление, в котором
играет роль весь процесс в целом. Это явление очень похоже на явление
резонанса, и для него существенна вся история воздействия2.
Можно рассматривать суммы конечного числа гармонических колебаний с
несоизмеримыми периодами, а потом перейти к сумме бесконечного числа
таких гармонических колебаний. Это приводит к новому классу функций,
более общих, чем периодические. Фактически к таким функциям подошли с
двух различных сторон: исходя из рядов Фурье и отправляясь от определения
периодических функций.
Вспомним, что такое периодическая функция3. Это функция f(t), обладающая
свойством
______________ /(*-*-т) = /(*).
1 [См. 26-ую лекцию.]
2 [См. том V, стр. 436].
1 [См. 2-ую лекцию.]
46
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Она имеет период т, а также пт, где п - любое целое число. Рассмотрим
теперь непрерывные функции f(t), обладающие следующим свойством: для
сколь угодно малого г существуют такие "почти-периоды" т(е), что
I /[#-ьт(б)] - /(г)|0,
причем таких почти-периодов имеется бесконечно много и они лежат не очень
редко, - аналогично тому, как обстоит дело с периодами лт (л = 1, 2, 3,
...) периодической функции. Такие функции повторяются, но повторяются не
совсем точно. Они называются почти-периодическими функциями1.
Оказывается, что всякую непрерывную почти-периодическую функцию можно
апроксимировать суммой гармонических колебаний с (вообще говоря)
несоизмеримыми периодами:
/(0~2с*е'"и.
к
Взяв достаточно большое число членов, можно получить сколь угодно хорошее
приближение в смысле наименьшей квадратичной ошибки. И наоборот, такой
ряд всегда представляет собой почти-периодическую функцию.
В физике мы постоянно сталкиваемся с почти-периодическими функциями.
Например, смещение определенной точки струны выражается, как функция
времени, бесконечным рядом синусоид с (вообще говоря) несоизмеримыми
периодами. Это - почти-перио-дическая функция. Ряд Фурье получается
только в том частном случае, когда частоты отдельных слагаемых относятся
между собой, как целые числа.
Физика пришла к этим функциям иным путем, чем математика. Математика,
