Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
1949); И. Г. Малкин. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных
колебаний (М., 1949); Ф. Морз. Колебания и звук (М., 1949); Г. С.
Горелик. Колебания и волны (М.-Л., 1950); С. П. Стрелков. Введение в
теорию колебаний (М., 1950); С. Г. М и х л и н. Проблемы минимума
квадратичного функционала (М., 1952); Дж. Стокер. Нелинейные колебания в
механических и электрических системах (М., 1952); И. М. Капчинский.
Методы теории колебаний в радиотехнике (М.-Л., 1954).]
16
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ
(Сентябрь 1930 г.)
Периодическая функция. Синусоидальная функция. Амплитуда, частота,
циклическая частота, фаза. Диапазон частот, встречающихся в природе.
Среднее, среднее квадратичное, эффективное значение. Сложение
синусоидальных колебаний. Суперпозиция, неудачность термина
"интерференция"; неаддитивность энергий. Сложение колебаний со случайными
фазами; необходимость статистического постулата; аддитивность энергий в
среднем; когерентные и некогерентные колебания.
Мы говорили в прошлый раз о том, что несколько трудно определить ту
область, которой занимается теория колебаний. Мы говорили, что
особенности, характерные для колебательных явлений, повторяются в самых
разнообразных областях и что теория колебаний интересуется
преимущественно целостными процессами. Среди процессов, находящихся в
центре внимания теории колебаний, особенно важную роль играют процессы
повторяющиеся или, в несколько более узком разрезе, периодические.
Мы займемся сначала периодическими процессами. В качестве математического
инструмента мы будем пользоваться здесь периодическими функциями, т. е.
такими функциями y = f(i), что при любом t и определенном т
/(< + т)=/").
т называется периодом. Нетрудно показать, что если функция имеет период,
то она имеет бесчисленное множество периодов. Действительно,
/(* -ь т -"- т) = f{t + т) = f(t).
Следовательно, 2т - тоже период, и вообще любое целое кратное от периода
есть период. Принято, говоря без каких-либо дальнейших указаний о
периоде, иметь в виду наименьший период.
Итак, периодическая функция имеет бесконечное множество периодов.
Возможны ли у периодической функции несоизмеримые периоды? Нетрудно
доказать, что этого не может быть, если функция не есть постоянная
(постоянная есть периодическая функция, для которой любое число есть
период). Предположим, что функция имеет два периода т и т'. Если т -
период, то пт, где п - любое целое число, тоже период. Если т' - период,
то тт', где т - любое целое число, тоже период. Если т и т' несоизмеримы,
то можно выбрать пит так, чтобы разность пгт' - пт
ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ
17
была как угодно мала. Но эта разность тоже есть период, а значит, функция
имеет сколь угодно малый период. Но такая функция есть постоянная.
Построить периодическую функцию можно весьма разнообразными способами.
Можно, например, задать в некотором интервале (О, т) любую функцию и
затем повторять ее неограниченное число раз слева и справа. Вообще
говоря, значения функции в начале интервала и в конце предыдущего не
совпадут (рис. 2). Следовательно, построенные таким путем функции в общем
случае не будут непрерывны, а будут иметь скачки на границах интервала
(О, т). Таким образом, в рассмотрение входят разрывные функции.
Рис. 2.
Функции, принадлежащие к классу периодических, весьма разнообразны. Среди
них есть функции, образующие подкласс, играющий особенно важную роль, а
именно синусообразные функции. Их общая запись такова:
y = f{t) - acos - <р).
Здесь имеются три постоянные величины: а, <р и т.
Функции такого вида играют в физике громадную роль. Чем это вызвано?
Иногда говорят - тем, что синусообразная функция - "самая простая" из
периодических функций. Но такой ответ вряд ли удовлетворителен, так как
критерий "простоты" - в достаточной мере неопределенный критерий. Роль
этих функций в физике обусловлена главным образом тем значением, какое
имеют в теории колебаний гармонические (синусообразные) колебания.
Существует бесчисленное множество явлений, которые изображаются такого
рода функциями. Прежде всего колебания маятника (приблизительно, если они
малы), в оптике - "спектрально простой" (монохроматический) свет. В
акустике с понятием синусоидального колебания связано понятие о чистом
тоне: чистый тон имеет место тогда, когда частицы воздуха колеблются
гармонически. Радио-2 Л. И. Мандельштам, том IV
18
ЛЕКЦИИ по колебаниям, часть первая
станции, когда они работают, но не производят передачу сигналов, дают
электромагнитные колебания, очень близкие к гармоническим.
Придется сказать несколько слов о терминах, хотя многое здесь хорошо
известно.
Величина
__ 1 -г
называется частотой колебаний. Пользуясь v, формулу гармонических
колебаний можно записать в виде
у = а cos (2-vt - 9).
При такой записи приходится всюду писать множитель 2п. Чтобы этого
избежать, часто вводят вместо v циклическую частоту ы:
(О = 2 TCV
(мы будем также обозначать ее иногда буквами п и р).
