Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть X- число комбинаций, осуществляющих такое значение интенсивности,
т. е. комбинаций с Nx минусами и N-7VX плюсами.
Возьмем какую-нибудь одну из этих комбинаций. Путем перестановок TVj
амплитуд, вошедших с минусом, мы можем осуществить 7VJ. комбинаций с тем
же числом плюсов и минусов; путем перестановок N-7V, амплитуд, вошедших с
плюсом, мы можем осуществить (N-7V3)! комбинаций с тем же числом плюсов и
минусов. Следовательно, путем перестановок TVj амплитуд с минусом и (N-
Aj) амплитуд с плюсом мы получаем N^.(N-7VX)! комбинаций с тем же числом
плюсов и минусов. Сделав такие перестановки в каждой из наших X
комбинаций, как исходной, мы получим всевозможные перестановки из N
элементов, т. е.
X • Nj\ (N- TVjM = TV!
Отсюда
Х=-^гт1*1^ттг=СХ'
Nil (N- Л/j)!
N
(число сочетаний из N по N:). Каждая из этих комбинаций дает квадрат
амплитуды (iV-2N1)2. Средний квадрат амплитуды есть сумма всех значений
квадрата амплитуды, деленная на общее число этих значений. Таким образом:
N
2 Cfyw-Wt)* a* = (N- 2N,f = ^ у----------------. (2)
.v,=o
Нетрудно убедиться, что нижняя сумма равна 2. Действительно, из формулы
бинома
ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ
25
при х = 1 получаем:
X
2a=Vc;\ (з)
Л',=0
Для вычисления верхней суммы, стоящей в числителе (2) (обозначим ее 3),
употребим изящный прием, связанный с разбиением этой суммы на две и с
преобразованием второго слагаемого:
S=N> J С#' 4N(N-1) 2
N (N-2)\N1(N-N1)
Ni'AN-NJl
Л',=0 Д',=0
Воспользовавшись (3) и заметив, что во второй сумме члены с Nj= 0 и N} =
N равны нулю, получаем:
N*. 2n-4N(N-1) V (АГ-2)'АГ,(7У- 7У,)
о JV z fuvyv I) ^ ^'(ЛГ-Л^)!
ДГ,=1
Входящая сюда сумма может быть представлена в виде
Лг-1 Д'- 2
XI (IV - 2)1 _ X1 (N-2V.
(N\ - 1)! [W- 2 - (N] - 1)]! л! (2V-2 - я)!
Л,=1 и=0
и согласно (3) равна 2л-2. Следовательно,
S= N2 • 2V- 4N(N- 1) • 2'дт_2 = [TV2 - N(N- 1)] 2* = N • 2*. (4)
Подставляя (3) и (4) в (2), получаем:
<P = 7V.
Если амплитуда отдельного колебания равна не 1, a sc, то
52 = 7Vx2.
Итак, в случае сложения колебаний со случайными фазами энергии (в
среднем) складываются.
Если разности фаз между колебаниями постоянны, то говорят о когерентных
колебаниях. Если же фазы разбросаны совершенно беспорядочно, то говорят,
что колебания некогерентны. Такие некогерентные колебания испускаются,
например, молекулами светящегося газа.
26
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Мы рассмотрели частный случай, когда фазы равны либо О, либо ъ. Можно
рассмотреть общий случай, когда фазы принимают любые значения. Релей
показал, что и в этом общем случае неко-герентности энергии (всреднем)
складываются. Это - очень существенная теорема.
ТРЕТЬЯ ЛЕКЦИЯ
(Октябрь 7930 г.)
Задача об апроксимации функций тригонометрическими полиномами. Теорема
Фурье. Исторические замечания о понятии функции. Класс функций,
разложимых в ряд Фурье. Метод комплексных величин; когда можно и когда
нельзя его применять.
Нам нужно коснуться вычислительного приема, широко применяемого в теории
колебаний, - использования комплексных величин. Здесь необходимо
предостеречь от одной распространенной ошибки: часто бывает так, что к
этому приему привыкают, а потом забывают, когда можно и когда нельзя им
пользоваться.
Напишем известные формулы:
ekx = cos кх -4- i sin кх, cos kx = 2 (e,kx+e-ikx), sin кх = ±[ (е'кх -
е~'кх),
где
/./ = - 1.
Эти формулы позволяют выразить синусоидальные колебания через комплексные
экспоненциальные функции. В волновой механике теория строится так, что в
нее непосредственно входят комплексные величины. Здесь, в теории
колебаний, дело обстоит иначе. Нас интересуют действительные величины.
Например, когда мы пишем еЛх, то нас интересует действительная часть
этого выражения, т. е. coskx; но работать с комплексными величинами
удобно, потому что при дифференцировании они себя воспроизводят с
точностью до множителя, между тем как синус и косинус ведут себя сложнее.
ТРЕТЬЯ ЛЕКЦИЯ
27
Всякую комплексную величину a-t-ib можно представить в виде Ае'^, где А и
9 - действительные величины, причем
А=\/а2{-*-b2, tg<p = -^
(заметим, что фаза 9 определена здесь неоднозначно).
При перемножении комплексных величин фазы их просто складываются, и это -
второе, очень удобное свойство.
Часто мы имеем дело с величинами вида
1=(а + 1Ь)еШ. (1)
Какова действительная часть этого выражения? Имеем:
(а -+- ib) еш = Ae'(u't+'f) - A cos ("if -+- 9) -+- iA sin ((at -t- 9),
и, следовательно, искомая действительная часть есть
A cos ("if-*-9).
Если колебание задано в виде (1), то произведение вели-
чины ? на сопряженную ей величину
?* -=(а - ib) e-'u<
дает квадрат амплитуды действительной части ?:
%* = (a + ib)(a - ib) = a2 + b2 = A:. (2)
Для того, чтобы найти квадрат амплитуды, не нужно пере-
ходить от выражения (1) к его действительной части.
Рассмотрим оптическую задачу - о диффракционной решетке (рис. 3),
наглядно иллюстрирующую преимущества оперирования комплексными
величинами.
Колебания, идущие от соседних щелей решетки, имеют благодаря разности
