Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
имеем:
а2 = (а, -+- а2)2;
если 9, - ?2 = ~, имеем:
а2 = (а, - а2)2;
если 9,-92 = тс/2, имеем:
а2 = а2ч-а2.
Если а, = а2, то при 9, - 92 = 0 имеем:
а2 = 4а2.
Квадрат амплитуды определяет собой энергию. В последнем случае при
сложении амплитуда удваивается и, следовательно"
22
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
энергия учетверяется. Энергии складываются только в том случае, когда
сдвиг фаз равен ± те/2.
Слово "интерференция"^ значит взаимодействие; но здесь для самих
колеблющихся величин у взаимодействия нет', для них справедлив принцип
суперпозиции (наложения). Для энергии он не справедлив, так как энергии
взаимодействуют, они действительно интерферируют. Для самих колеблющихся
величин термин "интерференция" неудачен. На это указывал еще Релей.
Заметим, что непосредственный физический смысл имеют во многих случаях не
сами величины, входящие в уравнения, - уравнения Максвелла, уравнение
Шрёдингера и т. п., - а их квадраты (точнее, в случае уравнения
Шрёдингера, квадрат модуля). Именно для этих квадратичных величин имеет
место интерференция.
Подчеркну еще раз, что аддитивность не есть нечто самоочевидное. Пусть,
например, один переменный ток выделяет в секунду 10 калорий, второй ток-
столько же. Если они будут течь вместе, они будут выделять, вообще
говоря, не 20 калорий в секунду. Количество выделяемой в секунду теплоты
может равняться и 0, и 40 калориям: решающей здесь является разность фаз
обоих токов.
В физике встречаются и иного типа вопросы о сложении колебаний. Имеется,
например, светящийся газ. В нем очень много молекул, излучающих поля с
разнообразными амплитудами и фазами. Какова амплитуда результирующего
колебания? Казалось бы, достаточно сказать, какова амплитуда и фаза
каждого колебания, - мы их сложим и получим ответ. Но если фазы отдельных
колебаний не известны, то и о результирующей амплитуде ничего сказать
нельзя.
Для простоты предположим сначала, что имеется всего два источника,
создающие колебания с одинаковой амплитудой, равной единице, и с фазами,
которые могут принимать два значения: Оите. Таким образом, первое
колебание есть ±cos второе- также =bcosw?. Какова амплитуда
результирующего колебания?
Возможны следующие комбинации:
•+- - о
-+- 4
_ _ 4
-+- о
(в первых двух столбцах - знаки амплитуд первого и второго колебания, в
третьем столбце - квадрат амплитуды результирую-
ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ
23
щего колебания). Если мы не знаем, какая из этих возможных комбинаций
осуществляется, мы ничего не можем сказать об амплитуде результирующего
колебания. Иногда говорят: нет оснований, чтобы одна комбинация
встречалась чаще, чем другая. В действительности это утверждение ниоткуда
не вытекает с необходимостью. По существу здесь возникает вопрос,
находящийся вне компетенции тех методов, которыми мы до сих пор
пользовались. Для того, чтобы ответить на вопрос, как часто встречается
та или другая комбинация, нужна новая гипотеза, новый посту лат. Такого
рода статистические гипотезы проходят красной нитью через многие вопросы
физики.
Сделаем следующее статистическое предположение: если мы рассматриваем
явление в течение долгого времени, то фазы каждого из колебаний успевают
много раз измениться и одинаково часто встречается любая из четырех
комбинаций. Тогда средний квадрат амплитуды будет равен 2, т. е. энергии
в среднем будут складываться.
Сделанное дополнительное предположение позволяет выводить заключения
только для очень большого числа опытов и только в среднем. Но без этого
(или иного) дополнительного предположения здесь вообще нельзя ничего
получить1.
К затронутому вопросу имеет прямое отношение известная полемика между
Больцманом и Бертраном. Больцману казалось, что он чисто математически
вывел свою Н-теорему из классической механики, без дополнительных
предположений статистического характера. Он просто упустил при этом из
виду одно постулативно высказанное им положение о числе соударений
(Stosszahlansatz). Бертран по поводу этого "чисто математического" вывода
сказал: это напоминает задачу о корабле, который имеет столько-то мачт,
пушек и т. д., и требуется найти из этих данных возраст капитана.
Рассмотрим теперь сложение N колебаний вида ± cos Ы. Пусть, например, мы
имеем такое распределение:
1 2 3 4 5 6 ... ч 1----------------
(первая строка: номер колебания; вторая: знак его амплитуды).
1 [Ср. 9-ую и 10-ую лекции.]
24
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Что вероятнее: написанная здесь комбинация или другая, в которой сначала
будет 2 раза подряд -+- или 3 раза подряд -ь? Когда мы говорим, что все
комбинации одинаково вероятны (или: все распределения встречаются
одинаково часто), то надо ясно понимать, что это - постулат.
Всего складывается N колебаний. Пусть из них Nx входят с минусом,
остальные N-Nl - Ni - с плюсом. Квадрат результирующей амплитуды имеет
величину (N-2А^)2. Спрашивается, сколькими способами (при заданном N)
может быть осуществлено такое значение результирующей интенсивности?
