Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мандельштам Л.И. -> "Лекции по колебаниям" -> 10

Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.

Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям — Академия наук СССР, 1955. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipokolebaniyam1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 160 >> Следующая

возьмите ряд Фурь и выбросьте из него третий член. Число членов остается
бескс нечным, и тем не менее с помощью такого бесконечного ряд любую
непрерывную функцию уже представить нельзя.
Теорема Фурье справедлива при известных ограничения (достаточные условия
того, что функция может быть представ лена рядом Фурье, были указаны
Дирихле); рядом Фурье могу быть представлены не все непрерывные функции.
С другой стс роны, в виде рядов Фурье может быть представлен определен
ный класс разрывных функций, имеющих только разрывы первог рода (т. е.
такие, что и слева и справа от разрыва функци имеет определенное
значение). Для того, чтобы функция могл быть представлена рядом Фурье,
она должна иметь конечно число разрывов и не должна иметь бесконечного
числа максиму мов и минимумов. Например, непрерывную функцию sin (1/х'
которая при л:-*-0 имеет бесконечно густые максимумы, нельз разложить в
ряд Фурье.
Тот класс функций, которые могут быть представлены рядо] Фурье, вполне
достаточен для физических целей. Практическ любая интересующая физика
функция может быть разложен в ряд Фурье.
Как быстро убывают коэффициенты Фурье? Ряд (14) сходите тем быстрее, чем
функция f(x) глаже. Если h - порядок разрыв (т. е. порядок наинизшей
терпящей разрыв производной), то асимптс тически, при достаточно больших
к, коэффициенты убывают как 1 )кь+1.
Существуют ли различные функции, представляемые одни] и тем же рядом
Фурье? Да, существуют. Они отличаются одн от другой тем, что имеют
различные значения в конечном ряд
ЧЕТВЕРТАЯ ЛЕКЦИЯ
35
точек. Но это исключительный случай. Интересующие нас функции однозначно
определяются своим рядом Фурье.
Теорема Фурье была впервые высказана им в 1822 г. в его "Theorie
analytique de la chaleur", но еще в 1750 г. ее предугадал Бернулли.
Синусы и косинусы - не единственная система ортогональных функций, по
которым можно разлагать произвольную функцию. Существует бесконечное
множество таких систем. С этой точки зрения ряд Фурье - чрезвычайно
частный случай. Но разложение по косинусам и синусам, т. е. по
гармоническим колебаниям, сыграло очень большую роль в развитии общей
теории разложения по ортогональным функциям. В математике остальные
разложения тоже важны, не менее важны, чем разложение Фурье. Но
разложение Фурье выделено благодаря физическим условиям *.
ЧЕТВЕРТАЯ ЛЕКЦИЯ
(Октябрь 1930 г.)
Ряды Фурье (продолжение); явление Гиббса. Биения. Как мы узнаём
направление на источник звука. "Гармоническое колебание с медленно
меняющейся амплитудой и фазой". Критерий медленности определяется
конкретной физической задачей. Кажущееся нарушение закона сохранения
энергии при интерференции
Мы сейчас разберем немного формальные, но необходимые
вопросы. Как мы видели в прошлый раз, всякую интересующую
нас функцию f(x) с периодом 2~ можно разложить в ряд Фурье:
00
f(x) = Щ- -+- ^ (a* coskx bksinkx), (1)
причем
ак--~ j f(x) cos kx dx, ?"= - | f(x) sin кх dx. (2)
-те -те
Для того, чтобы эти формулы годились и для к - 0, нужно писать постоянный
член в виде а0/2.
Обычно приходится иметь дело с функцией, имеющей период т 2~. Если
сделать замену
Т-у - х, (3)
1 [См. 16-ую лекцию.] 3'
36
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
то функция f(2~y/x), рассматриваемая как функция у, имеет период т, если
f(x) имеет период 2ъ (когда у увеличивается на т, то аргумент х
увеличивается на 2~). Обозначив
/(т1
и сделав в (1) и (2) замену (3), получаем:
Г*~!
9 (У) = °2 2 1ак 005 (^г) bk sin pT~)] '
t=i
где
+т/2 +т/2
а* = J 9 (у) cos {к dy, 6* =4 J 9 (у) sin [к dy.
-т/2 -т/2
Упомяну еще о написании действительного ряда Фурье в комплексной форме.
Пусть действительная функция f(x) имеет период 2тс. Вместо
ак cos кх Ь\с sin кх
можно написать
air - ibk ikx . а к ¦+¦ ibk _(кх
-2 е Н ^ е
(это, конечно, действительная величина). Обозначим:
+п
л ак ibk_ 1 Г \ -ikx 7
Ск g 2л J J в dx,
-Я Ч-я
c-i = E!LTi^ = i J dx
-те
(с* и с_* - комплексно сопряженные). Тогда
+00
/М= 2 скеах.
к=-со
Это - изящная запись в комплексной форме обычного ряда Фурье,
представляющего действительную функцию.
И, наконец, последнее замечание, уже не формальное, а по существу. Оно
касается вопроса, который должен возникнуть у каждого.
ЧЕТВЕРТАЯ ЛЕКЦИЯ
37
В прошлый раз было сказано, какие функции можно разлагать в ряд Фурье.
Функция f(x) может быть разрывной, но у нее должно быть конечное число
разрывов и она не должна иметь бесконечно большого числа максимумов и
минимумов (напомню, что при построении периодических функций естественно
входят в рассмотрение разрывные функции).
Что значит, что функция /(х) может быть разложена в ряд Фурье? Это
значит, что для каждого значения х сумма бесконечного ряда в правой части
(1) равна соответствующему значению функции f(x). Но в месте разрыва f(x)
имеет два значения. Чему же здесь равен ряд Фурье? Вот результат
математического исследования: в точках разрыва х = а ряд Фурье дает
арифметическое среднее значений f(x) слева и справа:
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed