Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
/(а-+- 0)-<- /(о -0)
2
Таким образом, рядом Фурье задается функция, определенная во всех точках.
Существует ряд приборов, позволяющих осуществить разложение по Фурье.
Если начертить периодически повторяющуюся функцию, то определенные
приборы - типа планиметра - позволяют последовательно определить ее
коэффициенты Фурье. С помощью этих приборов нельзя вычислить бесконечное
число членов, но для применений всегда достаточно конечного числа. Есть,
например, приборы, вычисляющие 6 коэффициентов. Прибор Майкельсона дает
120 коэффициентов: 60 при синусах и 60 при косинусах. Он позволяет
проделать и обратную операцию: суммировать функцию по заданным
коэффициентам разложения Фурье. Прибор Майкельсона дает сумму Фурье ,S60.
Это - приближение, и ему соответствует, конечно, непрерывная кривая.
Когда суммируется с помощью прибора конечное число членов разложения
Фурье разрывной функции f(x) (например, изображенной на рис. 2), можно
ожидать, что получится кривая, которая всюду будет близко подходить к
кривой f(x). На деле получается иной результат: апроксимирующая кривая
хорошо подходит к f{x) везде, кроме окрестностей мест разрыва; там она
образует "хвосты*1 (рис. 4), высота которых не уменьшается с ростом числа
суммируемых членов разложения (она достигает примерно Vio величины
скачка), но в которых с ростом этого числа осцилляции сгущаются и
сжимаются к точке разрыва.
38
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Можно подумать, что появление "хвостов" вызвано дефектшу прибора, но это
неверно. Как показал Гиббс, это - экспериментальное указание на чисто
математический факт: неравномерную сходимость ряда Фурье в точках разрыва
f(x). Наличие осциллирующих "хвостов" у конечных сумм Фурье около точек
разрыва разлагаемой функции получило название явления Гиббса.
Перейдем теперь к другому вопросу.
Мы помним, что при сложении гармонических колебаний одинакового периода
получается гармоническое колебание с тем же периодом. Теперь речь будет
идти о сложении двух гармонических колебаний неодинакового периода. Этот
случай играет в физике
колебаний очень существенную роль, и здесь возникает ряд общих вопросов,
которые нужно с самого начала себе уяснить.
Итак, пусть
У~а1 cos ("jf - <Pj) -f- o2 cos (w2f - <p2). (4)
рис. 4 Периодическая ли это функция? Если
<*>! и чо2 соизмеримы, - т. е. относятся, как целые числа, то у--
периодическая функция. Действительно, пусть, например, первое слагаемое
имеет период 1/300 сек., а второе -1/200 сек. Тогда три периода первого
слагаемого составляют два периода второго: через 1/100 сек. повторяются
значения обоих, а следовательно, повторится и значение суммы.
Но какой смысл имеет в физике говорить о соизмеримости или
несоизмеримости? Если, скажем,
"1 1000 001
ш2 1 000000 '
то частоты соизмеримы, но у будет повторяться лишь через очень большое
число периодов каждого из складываемых колебаний. Другими словами, если
отношение частот равно отношению очень больших взаимно простых целых
чисел, то физического отличия от случая несоизмеримых частот нет.
Здесь важно другое. Если то колебание (4) не может
быть представлено как одно синусоидальное колебание в точном смысле
слова.
Переписав (4) в виде
у - аг cos (ы,? - <pj) -+- аг cos н- (ы2 - Wj) t -- <р2], (5)
ЧЕТВЕРТАЯ ЛЕКЦИЯ
39
можно показать путем простых вычислений ', что у можно представить как
у - a cos (wj t - 9), (6)
где
а = \JaA} -+-oj -*-'2а1а2 cos [(<o2 - ч-^j -<pj .
a j sin 9] a2 s>n K0,2 - 0>i) t -
^ ^ ai cos 9, Ч- a2 cos [(ы2 - 0)jJ t - 92] '
Как сказано, (6) не есть гармоническая функция, так как у гармонической
функции а и 9 по определению являются постоянными величинами.
Интересно, однако, следующее. Пусть | Wj - ы2| очень малая величина. В
этом случае частота изменения величин а и 9 очень мала, поскольку cos(io2
- Uj) t - медленно меняющаяся функция. Величины а и 9 меняются медленно,
в течение очень долгого времени они почти постоянны и можно
рассматривать у как "гармоническое колебание с очень
медленно меняющейся амплитудой и
с очень медленно меняющейся фазой". Строго говоря, это, конечно, не
гармоническое колебание. Только при известном легкомыслии можно сказать,
что амплитуда и фаза "почти" постоянны.
Возьмем пример. Пусть у нас имеются два камертона, периоды которых
немного различаются. Создаваемое ими в некоторой точке суммарное
колебание у имеет вид (4) или, что то же, (5). Можно сказать, что
складываются два колебания с одинаковым периодом, но с медленно
меняющейся разностью фаз. В какой-то момент амплитуда суммарного
колебания есть сумма амплитуд "] + а2; потом она очень медленно переходит
в разность амплитуд ау - а2 и т. д.
Можно сказать (и это будет точно), что у есть сумма двух гармонических
колебаний с несколько отличными периодами. Но можно сказать и так: у есть
одно колебание с определенным периодом, но амплитуда его медленно
меняется от некоторого максимума до некоторого минимума и обратно. Это
уже некоторая неряшливость в выражениях. Она вызвана тем, что мы
