Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда приближенно
ып
Разность
(О,
¦t
нормальных частот ень мала по сравнению с "j •+- <о2. В начальный момент
величина <р2 равна нулю.
Она станет заметной только через колоссальное время.
В предельном случае бесконечно слабой связи перекачка будет длиться
бесконечное время. Это и ограничивает применение теории на практике.
Будем оценивать время по отношению к периоду. Если перекачка длится Ю10
периодов, то это практически значит, что перекачки никогда не произойдет.
Но в молекулярной физике 1010 периодов составляют, например, 10~2
секунды, а это на наши масштабы-конечное время.
Но это еще не все. Мы вели расчет для идеальных условий. Если передача
должна длиться очень долго, то прежде чем она произойдет, вся энергия
будет "съедена11 даже маленьким трением.
В том, что было сказано о перекачке, математическая сторона ясна, но
возникает следующий физический вопрос. Пустим левый маятник. Он толкает
правый маятник, раскачивает его. Пусть правый раскачался настолько, что
он обладает половиной всей энергии. Почему его энергия будет и дальше
увеличиваться? Строгий ответ дается математическим решением задачи, но
хочется иметь наглядную картину. Дело в том, что левый маятник сообщает
толчки правому маятнику в определенные моменты. В случае п1 = л2 толчки
продолжают наступать в моменты, благоприятные 17*
260
ЛЕКЦИИ по колебаниям, часть первая
для передачи энергии от левого маятника к правому, и после того, как
энергии маятников сравнялись. Дело здесь не в запасе энергии у каждого из
маятников, а в том, как распределены толчки во времени.
ДВАДЦАТЬ ШЕСТАЯ ЛЕКЦИЯ
(17/III 1931 г.)
Примеры, где существенное значение имеет распределение нормальных
колебаний. Когда можно приближенно рассматривать связанные колебания как
вынужденные. Приближенное вычисление изменения нормальной частоты при
малом изменении параметра. Вырожденный случай. Эффект слабой связи в
теории возмущений. Вынужденные колебания в системе с двумя степенями
свободы. Теорема взаимности. Резонанс. Успокоение.
Для систем с двумя степенями свободы нам остается, во-первых, подвести
некоторые итоги, во-вторых, разобрать вынужденные колебания и, наконец,
разобрать вопрос о затухании колебаний.
В прошлый раз мы рассчитали до конца простой пример двух связанных
маятников. В общем случае электрической или механической системы,
обозначая координаты через х и у, мы имеем общее решение вида
Х - Сх COS (tOj# -I- 0СХ) -4- C2 COS (w2f -4- 0C2),
у - k, Cx cos (wj# -i- aj) -+- k2C2 cos (w2t -+- a2).
Каждая координата совершает движение, которое может быть представлено,
вообще говоря, как сумма двух гармонических колебаний с определенными
периодами. В частности, система может колебаться с одним периодом (если
Сг = 0 или С2 = 0). Эти особенные колебания с одним периодом называются
нормальными. Величины кх и к2 характеризуют распределение нормальных
колебаний по координатам. Знание периодов существенно в вопросах
резонанса. Укажем теперь примеры, на которых выяснилось, насколько важно
для чисто технических вопросов знание также и величин кх и к2.
ДВАДЦАТЬ ШЕСТАЯ ЛЕКЦИЯ
261
Пусть система колеблется под действием внешнего источника колебаний. Если
внешняя сила действует только на одну парциальную систему, то тем не
менее одновременно приходят в колебание обе. Если частота внешней силы
значительно отличается от нормальных частот, то тип колебаний существенно
другой, чем при нормальных колебаниях. Но пусть частота внешней силы
очень близко подходит к или w2. Тогда система начинает возбуждаться очень
сильно (резонанс) и, кроме того, тип колебаний становится почти таким же,
как при соответствующем нормальном колебании.
Физически речь может идти, например, о двух маятниках (рис. 86). Это -
модель парохода с успокоителем качки1, или пло-вучего маяка (фонарь
подвешен на буе).
Вот еще система с двумя степенями свободы: колокол и язык (рис. 106). В
70-х годах прошлого века наблюдался случай, когда очень большой колокол
не звонил. Постараемся понять, в чем здесь дело. Для того, чтобы сильно
раскачать колокол, его тянут с одним из собственных периодов. Тип
колебания приблизительно такой же, как при собственных колебаниях.
Пусть ?х = 1. Это значит, что вблизи резонанса х =у. Колокол отклоняется
так же, как и язык. Они колеблются как целое, и язык не ударяет в
колокол.
Для того, чтобы колокол или пловучий маяк правильно действовали, нужно,
чтобы было у - 0, т. е. ^ - 0 (у- отклонение языка или фонаря). Но в
связанной системе никогда не бывает &! = (): идеально успокоить фонарь
невозможно. Чтобы обойти эту трудность, делают фонарь с очень большим
собственным периодом. Здесь мы возвращаемся к уже известному нам случаю
действия силы с коротким периодом на систему с очень длинным собственным
периодом
Обратимся снова к вопросу о взаимодействии между парциальными системами.
Мы знаем, что здесь возможны два существенно различных случая - слабой и
сильной "связанности**. Если парциальные системы расстроены и связь мала,
