Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
собственная частота) резонанс не наступает, только если амплитуда внешней
силы равна нулю. Точно так же при двух степенях свободы резонанса не
будет ни при р = шп ни при р = (и2> если Х= Y= 0. Это - тривиальный
случай. Но в случае двух степеней свободы есть еще другой, не
тривиальный, случай отсутствия резонанса при р = или р = а>2, который
специфичен для систем, имеющих больше чем одну степень свободы. Выясним,
когда он наступает. Согласно уравнению (5) предыдущей лекции имеем:
1 'X h - Нр2~
Д ! Y Ь - Вр2
(3)
Пусть р совпадает с одной из нормальных частот. Мы получаем резонанс (ос
= оо) в предположении, что детерминант в числителе не обращается в нуль.
Если же он тоже равен нулю, т. е.
X (b - Bp2) - Y(h - Яр2) = 0, (4)
18 Д. И. Мандельштам, том IV
274
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
то а не обращается в со, резонанса не наступает. В случае свободных
колебаний, если частота их равна р, отношение амплитуд есть
Таким образом, резонанс не наступает, несмотря на совпадение внешней
частоты с нормальной частотой, если
где а и [i--амплитуды обеих координат при соответствующем нормальном
колебании.
Речь шла только об амплитуде ос первой координаты. Но если р совпадает с
нормальной частотой, то из (5) следует, что при условии (6) верхний
детерминант в выражении для (i тоже обращается в нуль и, следовательно,
(3 также не обращается в со.
Мы можем рассматривать X и Y как компоненты вежтора на плоскости,
характеризующего распределение внешней силы, а ос и (3 в формуле (5) -
как компоненты вектора, определяющего форму нормального колебания.
Условие (6) есть условие перпендикулярности (ортогональности) этих
векторов. Таким образом, резонанс не наступает, если вектор,
соответствующий силе, ортогонален к вектору, соответствующему
собственному колебанию. В такой форме можно обобщить этот результат на п
степеней свободы.
Можно избежать нежелательного резонанса, соответствующим образом
распределяя искусственно силу между координатами. Для каждой нормальной
частоты подбор распределения силы должен быть различным.
Все это имеет место в таком чистом виде, если нет затухания. При наличии
малого затухания основные результаты - те же, на явления теряют остроту,
смазываются. Резонанс устраняет бесконечности. В отсутствие затухания
вычисления настолько проще, что лучше сначала все выяснить без затухания,
а потом вносить, поправки на затухание.
Для случая затухания уравнения Лагранжа нужно писать так:
7.
Ь - Bp1 h - Ир'
(5)
А - Нр~ а - Ар-
Ха -+- УЬ = О,
(6)
где Q<-сумма обобщенных внешних сил и сил трения.
ДВАДЦАТЬ СЕДЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
275
Релей обратил внимание на следующее. Для сил трения или сопротивления,
зависящих от скоростей, существует во многих случаях так называемая
диссипативная функция. Это такая функция F(q1, <72,qn) обобщенных
скоростей, удвоенное значение которой равно количеству энергии,
рассеиваемой в единицу времени на трение. При этом силы трения таковы:
Если мы найдем функцию F, то мы будем знать гсилы трения. Обычно можно
узнать, какова эта функция, из физических соображений.
Возьмем в качестве примера два индуктивно связанных электрических
контура. Здесь
Складывая потери в единицу времени в обоих контурах, получаем для
диссипативной функции выражение
Отличие от прежних уравнений в том, что теперь вошли первые производные ф
и q2. Раньше переменные входили или с двумя ""очками, или без точек, и мы
могли положить:
заранее зная, что косинус сократится. Теперь так не получится. Но мы
можем воспользоваться решением в виде экспоненциальной функции, так как
при дифференцировании она себя повторяет. Будем искать решение в виде
2Т= Lxq\ Ljfl +- iMq^q^
LyCh * Mq2 +- К\Я\ -gr = 0, L2q2 I Mqx -+- :=
(7)
q - A cos (соt -+- a),
(8>
18*
276
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Подставляя (8) в уравнения (7), получаем уравнения
ссМт2р = 0; Мт2х-+- (Ь2т2 -+- R,m -+- ^ = 0.
(9)
Здесь неизвестны ос, 'р и т. По отношению к ос и (3 эти уравнения
линейны. Они имеют не тривиальное решение только тогда, когда равен нулю
детерминант
Ltrn 2 -ь R-rn -+-
< Мгп2
Мт1
(Ю)
Развертывая детерминант, мы получаем для т уравнение четвертой степени:
т3' (zok
~*~т (с! "*¦ cf ) UU ' ~ 0' ^
Когда нет трения, все просто: уравнение - биквадратное, оба его корня т2
отрицательны, так как
1 -
и, следовательно,
т - по,
где а> - действительная частота.
При наличии трения все очень усложняется. Решение уравнения четвертой
степени--дело очень неприятное. Но сказать кое-что о корнях можно и не
решая уравнения. Они - либо действительные, либо комплексные, попарно
сопряженные. Если Rx и /?., малы, то корнями будут четыре комплексных
величины:
т., = 8" -
т.
,Ь"-ь
геи ,
так что частотное решение уравнений (7) имеет вид
с/, - x'e!'t+<w4, q2 =
ДВАДЦАТЬ СЕДЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
277
Таким образом, если есть малое трение или сопротивление, то общее решение
состоит из суммы двух колебаний с частотами и/ и со", с возрастающими или
затухающими (смотря по знаку §' и 8") амплитудами. Весь вопрос в том,
