Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
Существует решение вида
и к удов-
(4)
х - С cos (<o# ч- ос), у = кС cos (ы? -ь а).
Эти выражения удовлетворяют уравнениям (2), если летворяют алгебраическим
уравнениям:
- (А-+- Нк) ы2 + а+ hk = 0;
- (Н-+- В к) or -t- Л Ьк - 0.
Требуется определить из них со и к.
Можно задать ы или к и рассматривать уравнения (4) как уравнения с
одной неизвестной {к или со). В общем случае детерминант этих
уравнений не равен нулю и они не имеют решения.
Если подобрать со так, чтобы детерминант уравнений для неизвестной к
равнялся нулю, т. е.
ч?А - а ы2Н- h ы'Н - h (-АВ - Ь
0,
(5)
то они имеют определенное решение.
1 [См. 7-ю лекцию.] 16*
244
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Уравнение (5) - квадратное относительно <о3. Квадратное уравнение может
иметь разнообразные корни. Если равновесие устойчивое, то потенциальная
энергия имеет минимум при x = i/ = 0. Значит, квадратичные формы (2)
положительны при любых х, у и х, у (Т всегда положительна). Математика
доказывает, что при этих условиях оба корня уравнения (5) действительны и
положительны.
Каждому значению ы соответствует свое значение к. Мы имеем два
(положительные) значения ы(<о = и>11 ы = ы2) и два значения k(k = klt к =
к2), т. е. имеем, таким образом, два частных решения системы (3):
тоже будет решением при любых значениях Clt С2, 0Llf а2.
Смысл этого решения такой: если вывести систему с двумя степенями свободы
из состояния равновесия, то каждая координата выразится, как функция
времени, в виде суммы двух синусоидальных колебаний. Частоты и м2
получаются из секулярного, или векового, или характеристического
уравнения (5). Амплитуда каждой координаты в первом колебании
произвольна. Но если выбрана амплитуда первой координаты Cv то амплитуда
первого колебания во второй координате не произвольна, а задается
системой. То же самое имеет место для второго колебания.
Системой задаются величины Wj, ы2, кх и к2. Величины кг и к2
характеризуют распределение колебаний. Распределения, как и частоты,
задаются параметрами системы. Абсолютные амплитуды в одной из координат,
а также фазы, произвольны. Они задаются начальными условиями. (Заметим,
что механика и электродинамика сами по себе не говорят, каково движение
системы. Они учат, как движется система, если заданы начальные услозия.)
Пусть при t = О
и
X = Cj COS (w1f -I- OCj),
y = k1C1 cos ("jjt ссг)
x = C2 cos (ы2? a2),
у - k2C2 cos (w2f -+- a2).
Сумма их
(6)
X-X0, y=y0, x = x0, y=yo-
(7)
ДВАДЦАТЬ ЧЕТВЕРТАЯ ЛЕКЦИЯ
245'
Если заданы эти четыре величины, то мы знаем, как система будет себя
вести дальше. Из начальных условий (7) определяются Сг, С.2, а1? а2. Этим
вся задача однозначно определена. В технике отыскание собственных частот
часто является жизненным вопросом.
Пусть вагон (его можно схематизировать так, как показано на рис. 90)
движется с определенной скоростью. Он получает удары на стыках рельс.
Здесь может возникнуть резонанс (как и в системе с одной степенью
свободы): если частота ударов равна "j или <о2, вагон очень сильно
раскачивается \ У спальных вагонов плавный ход связан, между прочим, с
тем, что они имеют длинные периоды собственных колебаний. В машинах
резонанс может приводить к разрушениям, в электрических системах - к
перенапряжениям и пробоям. Чтобы этого не было, надо избегать того, чтобы
внешняя сила попадала в такт с или <о2.
Вернемся к (6). Движение каждой координаты - не синусообразное. То, что
его можно представить в виде суммы двух синусообразных колебаний (с
постоянной амплитудой), имеет существенное значение. Дело в том, что
очень часто система рассматриваемого здесь вида действует в качестве
источника силы на другую линейную систему. Тогда, как мы знаем, именно
такое представление целесообразно2.
Вопрос о том, какими координатами характеризовать систему, не решается
однозначно. Это вопрос вкуса и удобства.
Заданием хну или ? и 0 мы вполне определяем конфигурацию системы (рис.
90). Между теми и другими координатами имеются определенные соотношения,
а именно:
= x = ? - /Д, у =z ? /20.
Получим ли мы те же самые величины wlf ы2, кг и к9, если воспользуемся
другими координатами? Частоты колебаний получаются теми же самыми (о^ и
ы2 инвариантны). Но распределение будет зависеть от выбора координат.
Если мы перейдем к другим координатам, то может оказаться, в частности,
Н= 0 или h = 0. Это было очень ясно на примере, который разбирался в
прошлый раз. Но можно ли подобрать координаты так, чтобы и А и Н
обратились в нули? Если это
1 [С м. 26-ю лекцию.]
2 [См. 16-ю лекцию.]
246
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
удастся, то получатся чрезвычайно простые уравнения: система распадается
на две системы, описываемые уравнениями вида
Величины кг и к.2 показывают, в каком отношении находятся амплитуды
одного и того же колебания в одной и другой координате. В данном случае
^=0, к2= со.
Оказывается, что такие координаты подобрать можно. Если решить исходную
задачу о нахождении klt &2 и связать
