Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
новые координаты с исходными соотношениями:
то для потенциальной и кинетической энергии получатся выражения, в
которых произведения отсутствуют:
Отсюда сразу следует (8) и (9), причем частоты инвариантны по отношению к
преобразованию (11).
Тривиальный случай, когда кг = 0, к2 - со, это - случай двух не связанных
маятников. Для всех рассматриваемых систем с двумя степенями свободы, как
бы они ни были сложны, всегда можно подобрать такие координаты, при
которых задача приводится к этому тривиальному случаю. Такие координаты
называются нормальными координатами. Однако, чтобы подобрать нормальные
координаты, нужно сначала решить задачу, выраженную уравнениями (4) и
(5). Таким образом, в вычислительном смысле существование нормальных
координат не дает облегчения.
(8)
Частоты здесь находятся сразу:
(9)
и к.2 также находятся сразу, так как здесь
\ - Сг cos (mj# -+- aj), тi = С2 cos (<o2# -+- a2).
(10)
(11)
(12)
ДВАДЦАТЬ ЧЕТВЕРТАЯ ЛЕКЦИЯ
247
Подойдем к вопросу с другой стороны. Пусть
2___ ах2 -+- 2hxy -t- by'2
Ax'2 -i- 2Hxy -+- By1
(13)
(мы образуем такую дробь и обозначаем ее to2). Зададимся "странным"
вопросом: при каких значениях х и у эта дробь получает максимальное
значение и при каких значениях х и у - минимальное? (Здесь важны не сами
х и у, а отношение х/у). Введем нормальные координаты Н, г,. Тогда
,,2 "1^2 -I- "2'Пг
Если при х=хг У - Уг выражение (14) имеет максимум, то при
соответствующих ? = у- vjj выражение (14) тоже имеет максимум. При
введении нормальных координат задача упрощается.
Пусть
*>^7- (15)
Если ? и 71 оба отличны от нуля, то можно написать:
..2__ "1 ¦+• h 1ч г\
" -А^Гв? (16)
где
b^-a^j, BL = А2 ("-)2. (17)
Не трудно видеть, что значение дроби (16) заключено между
а1/А1 и Ь1/В1. В самом деле, пусть
Hj =А11;
тогда вследствие (15)
Ьх < Вг1
и далее
<
Ах -н В\ А-\ -t- В}
т. е.
"1 ~+~ Ьх ^ "1 Ах-ь-Вх Ах '
Аналогично найдем:
248
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Таким образом, мы доказали следующее: какие бы ни были с,, 71, если
только они не равны нулю,
_°2 ^ . Л ^ а1
< А7-
Далее, есть такие значения с, и т), при которых м2 принимает значения
aJA1 и а2/А2. В самом деле, первое значение м2 принимает при ? = 0,
7]=^=0, а второе - при ?=^=0, vj = 0. Следовательно,
(18)
Получился интересный результат (нормальные координаты здесь важны для
доказательства; сам результат не относится специально к нормальным
координатам): максимальное значение выражения (13), т. е. отношения
квадратичных форм
U (х, у)
Т(х, у) '
равно квадрату одной собственной частоты, его минимальное значение-
квадрату другой собственной частоты.
Перейдем теперь к другому вопросу.
Я умышленно говорил все время об одной системе с двумя степенями свободы,
а не о двух связанных системах, из которых каждая имеет одну степень
свободы.
Система с двумя степенями свободы может получиться генетически из
сближения двух систем, из которых каждая имела одну степень свободы.
Часто система с двумя степенями свободы интересна как результат связи
двух систем, каждая из которых имеет одну степень свободы.
Но может возникнуть обратный вопрос: имеется заданная система с двумя
степенями свободы. Из каких двух систем с одной степенью свободы она
произошла? Этот вопрос напрашивается сам собой. В случае рис. 99, а все
просто, но как быть в случае рис. 100, а? Нужно ли считать так, как на
рис. 100, б или так, как на рис. 100, в? Да и в случае рис. 99, а -
только кажущаяся простота; какие две системы связаны здесь между собой,
если взаимная индукция осуществляется через железо (рис. 99, б)?
Разделение целого на части не однозначно. То же самое у нас было с рядом
Фурье, с помощью которого мы разлагали периодическую функцию на сумму
других функций. В молекулярной физике возникает аналогичный вопрос о том,
как твердые тела -
ДВАДЦАТЬ ЧЕТВЕРТАЯ ЛЕКЦИЯ
249
кристаллические решетки - разделять на молекулы. Но можно искать
целесообразную точку зрения.
Разделение по "историческому" признаку, по признаку того, как происходило
присоединение частей одних к другим (по тому, как "приносили куски
системы из магазина"), вряд ли целесообразно. Но есть целесообразное
определение.
Каков критерий целесообразности определения? То, что, пользуясь им, можно
установить закономерность. В данном случае целесообразно такое разделение
системы, при котором можно установить закономерную связь между свойствами
полной системы и свойствами парциаль-
а)
Т
О
о
о
о
а
Т
S)
В)
ч,
а
т
Рис. 99.
Рис. 100.
ных систем (ее частей). Разные разделения знаконны, но все, кроме одного,
ни к чему не ведут, так как не приводят к закономерностям. Во всяком
случае я могу сказать, что знаю только одно определение, которое является
целесообразным. Вот оно.
Пусть даны выражения Т и V. Положим одну координату равной нулю. Мы
получим систему с одной степенью свободы. Положим теперь другую
координату равной нулю. Мы получим другую систему с одной степенью
