Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
Они справедливы для любых координат. Они одинаковы как для механических,
так и для электрических систем. Выводить их здесь я не могу, а скажу
только, как они пишутся и что они утверждают.
Пусть имеется п обобщенных координат:
9u 921 • • • I Ч"'
ДВАДЦАТЬ ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ
229
Можно выразить через них декартовы координаты. Через обобщенные
координаты и п обобщенных скоростей:
<Ь Ч>,- ¦ q"
можно выразить декартовы компоненты обычных скоростей.
Так как радиусы-векторы г" отдельных точек - функции обобщенных
координат:
*v-М*ь Я2'-"Чи),
то скорости
X"1 •
А
и, следовательно, выражение кинетической энергии через обобщенные
координаты и скорости имеет вид
Т~ у 2 2 <5)
Ч к
Таким образом, кинетическая энергия - квадратичная функция обобщенных
скоростей, в которой коэффициенты - функции обобщенных координат.
Элементарная работа сил выражается суммой членов вида
где Q;--обобщенная сила. Выражение Qx называется обобщенной силой по
аналогии с тем, что имеет место в декартовых координатах, где работа
определяется как произведение Xbx (X--сила, - перемещение).
Рассмотрим, например, тело, вращающееся вокруг оси. Здесь работа при
повороте на угол SO есть МЬ§, где М--момент "обычной" силы. В данном
случае обобщенной силой является момент "обычной" силы. (Обобщенная сила
может иметь другую размерность, чем обычная сила.)
Для того, чтобы найти, как изменяются со временем обобщенные координаты,
нужно составить и решить уравнения
d fdT\ дТ ir" \
dt щ;) - тч:=з>- (л-i> 2,..., л). (6)
Это и есть уравнения движения в форме Лагранжа.
230
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Может случиться, что обобщенные силы Qx - такие функции только от </),
что
Функция U{qu q2,...,q") есть не что иное, как потенциальная энергия,
выраженная через обобщенные координаты qlf q2,...,q". В этом случае, т.
е. при потенциальных силах Qx, уравнения движения принимают вид
Эти уравнения справедливы и для электрических цепей, если считать, что U-
электрическая, а Т-магнитная энергия, qx - заряды, q -токи. Из уравнений
Лагранжа получаются все законы колебаний механических, электрических и
смешанных систем. Эти уравнения очень общи.
Нас будут интересовать специально линейные колебательные системы
(нелинейные системы гораздо сложнее). Для линейных механических и
электрических колебательных систем функции Т и U имеют один и тот же вид
и получаются одинаковые уравнения движения.
Перейдем к исследованию устойчивости равновесия.
Устойчивым состоянием равновесия называется такое состояние равновесия,
что если систему вывести из него, и притом так, что изменения координат,
а также скорости, достаточно малы, то они будут оставаться сколь угодно
малыми в течение любого времени.
Дирихле доказал, что достаточное условие устойчивости равновесия
заключается в том, что в состоянии равновесия должно быть
т. е. если в положении равновесия потенциальная энергия имеет минимум, то
равновесие устойчиво. Докажем это утверждение (необходимые условия
равновесия мы затрагивать не будем).
Если мы прибавим к U постоянную величину, уравнения движения не
изменятся. Мы можем поэтому считать, что минимум U соответствует (7=0.
Тогда при малом отклонении от равновесия U^> 0. Так как справедлив закон
сохранения энергии, то T-*-U= = const, причем и Т^> 0. Следовательно,
если мы дадим системе
Q).
(7)
U(<7i> <7г> • • • > Чп) - minimum
двадцать вторая лекция
231
достаточно малое начальное отклонение, при котором T0-a~(J0<Z=-(е]>0), то
и в дальнейшем
Т -Л- U< г,
т. е. значения координат и скоростей не выйдут за известные пределы и,
следовательно, равновесие устойчивое.
Одно маленькое замечание: из того, что кинетическая энергия всегда
остается меньше г, мы заключаем, что ни одна точка •системы не может
получить большой скорости. При этом мы рассуждаем так: если Т достаточно
мала, то каждый ее член пг^/Ч тоже достаточно мал:
2
m,V,
~^<г.
Тогда и j Vt j меньше некоторой заданной величины. Но это рассуждение
годится только для систем, состоящих из конечного числа точек, каждая из
которых имеет конечную массу. Если наша система-континуум, то может
случиться, что входящая в ее состав очень маленькая масса, несмотря на
то, что Т<^&, получит очень большую скорость. Пусть, например,
поверхность воды находится в равновесии. Для того, чтобы быть уверенным,
что равновесие устойчиво, нужно доказать, что при jT <С ? сколь угодно
маленькая капля не получит сколь угодно большой скорости. Рассмотрим
движение системы вблизи положения равновесия:
91=9?" 9г = 9?,---" 9" = 9".
Введем новые координаты:
Я\=Яi - 9v 9'2 = 9s -9§ Ч'и = 4н - Чи.
При дифференцировании по времени д\ выпадают, так что
д1 д^, д2 д^9 • • •, дп дп.
Изменив таким образом начало координат, мы имеем в положении равновесия:
= <72 = °>- • •> Чп- О,
и в новых координатах
U(0, 0,..., 0) = minimum.
232
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Разложим U в степенной ряд около положения равновесия. Опуская штрихи в
обозначении новых координат, имеем:
