Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
индуктивность smjNe2 играет заметную роль. Это интересно было бы
выяснить.
1 [Опубликован в 1915 г. В 1911 г. аналогичный опыт был осуществлен Л. И.
Мандельштамом н Н. Д. Папалекси. См. Н. Д. Папалекси. Собра-
ние трудов, стр. 379 и след.]
ДВАДЦАТЬ ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ
223
Перейду к другому вопросу.
Мы видели, что существует глубокая аналогия между электрическими и
механическими колебаниями. Можно провести много' других аналогий. Вот
одна аналогия, на которую обратил внимание Кирхгоф.
Изогнем упругий тонкий стержень (рис. 85). Его форму можно задать
уравнением вида
б = /00 (21)
(6 - угол с осью абсцисс; s - длина дуги). Вид функции / характеризует
кривую.
В теории упругости доказывается, что функция (21) удовлетворяет
дифференциальному уравнению
g-bVsinG^O, (22)
где л2 - определенная комбинация из величин, характеризующих стержень.
Уравнение (22) аналогично уравнению колебаний маятника с большой
амплитудой. Зависимость угла 0 от длины дуги s такая же, как зависимость
угла отклонения маятника от времени. Это-изящная и любопытная аналогия.
Движение маятника в двух измерениях можно изобразить такой деформацией
стержня, когда он образует кривую двойной кривизны. Самое интересное
здесь то, что аналогия применима к колебаниям большой амплитуды.
ДВАДЦАТЬ ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ
(2511 1931 г.)
Понятие о связях в механике. Связи голономные, неголономные и
полуголоном-ные. Полуголономные связи в электрических системах. Уравнения
Лагранжа-Максвелла. Условие устойчивости Дирихле. Кинетическая и
потенциальная энергия как квадратичные формы. Относительность рода связи.
Мы рассмотрим теперь колебания таких систем, для однозначного описания
конфигурации которых недостаточно задать одну координату. (В случае
маятника конфигурация определяется заданием одной координаты: угла
отклонения; в случае контура с индуктивностью и емкостью - также одной
координатой: зарядом конденсатора).
224
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Оставив пока в стороне такие системы, как струна или антенна, имеющие
бесконечное число степеней свободы1, мы рассмотрим механические системы с
конечным числом степеней свободы и их электрические аналоги - системы,
состоящие из конечного числа индуктивностей и емкостей, причем сначала
отвлечемся от сил трения. Мы не будем стремиться к большой общности. Все
самое существенное мы выявим на системах с двумя степенями свободы. Мы
подробно разовьем теорию для двух степеней свободы и укажем, как
результаты обобщаются на любое число степеней свободы.
Пусть имеется к свободных точек. Если мы знаем силы, действующие между
ними, то мы знаем и уравнения движения
/n,-w,- = Ft- (г = 1, 2,..., к)
(mf - масса; -ускорение; F,. -результирующая сила).
Часто задача ставится иначе. Имеется к точек, но со связями. Представим
себе, например, маятник на жестком стержне. Он может двигаться в трех
измерениях х, у, z. Маятник испытывает действие силы тяжести, а также сил
со стороны стержня. Если бы мы знали все силы, то могли бы вычислить
движение. Силы, действующей со стороны стержня, мы не знаем, но нам
заранее известно, что при малейшем изменении длины стержня эта сила
чрезвычайно возрастает. Поэтому можно считать, что длина стержня
неизменна, т. е. что движение маятника происходит по кругу с центром в
точке О.
Таким образом, тело движется в плоскости х, у, на него действует сила
тяжести, и, кроме того, известно, что
2 . *> у9
х2ч- у- = Ъ.
Требуется найти движение. Это - несколько другая постановка задачи, чем
для системы свободных точек. Мы знаем только часть сил. Остальные силы
неизвестны, но известно, что они налагают некоторые ограничения на
координаты. Достаточно знать изменение одной из координат х или у, чтобы
знать все движение.
Возьмем более общий случай. Имеется к точек и т функциональных
соотношений между их координатами. Тогда имеются п = 3к - т неизвестных
величин, которые вполне определяют
1 [См. часть П.]
ДВАДЦАТЬ ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ
225
движение. Число независимых координат, необходимое и достаточное для
однозначного определения положения системы, называется числом степеней
свободы системы.
Рассмотрим два маятника в плоскости, соединенных так, как показано на
рис. 86. Между координатами хг, уи лг2, у<, обоих маятников имеется два
соотношения:
Это - система с двумя степенями свободы.
Пусть система имеет п степеней свободы. Если мы знаем, как п ее
независимых координат меняются в зависимости от времени, то мы полностью
знаем движение системы.
Для этих п координат можно составить уравнения, которые "ничего не знают"
об остальных координатах. Это - уравнения Лагранжа (иногда говорят -
уравнения Лагранжа второго рода; иногда, имея в виду не только
механические, но и электрические и электромеханические системы,-уравнения
Лагранжа-Максвелла).
Такие системы, для которых при наличии связей могут быть определены п
независимых величин (связи выражаются при этом соотношениями между
координатами), называются голономными системами. Сами эти величины
