Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
имеется связь определенного рода.
В случае равных корней секулярного уравнения согласно (2) налицо либо оба
вида связи, либо оба отсутствуют. В нашем примере с вагоном (рис. 90),
если мы берем координаты хх и х2, получается инерциальная связь, а если
мы берем координаты Е. и 6 - силовая. Здесь сразу можно сказать, что
корни неравны.
Рассмотрим теперь подробно взаимодействие парциальных систем. Выделим
существенные вопросы и разберем их на несложном примере. Рассмотрим
случай двух связанных маятников (рис. 103). Мы будем говорить о
взаимодействии между двумя связанными системами, входящими в состав одной
системы с двумя степенями свободы. Здесь
27'=/i^H-/2cpl,
2 U= Pl9t + P,f2 + X (?1 - %f, W
где 1Х и /2-моменты инерции маятников; Рх и Р2 - произведения их весов на
расстояния центров тяжести от осей; ~к - пропорцио-
ДВАДЦАТЬ ПЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
253
нально коэффициенту упругости пружины. Можно сразу сказать, что в данных
координатах связь силовая, так как
2 U = (Р, -ь X) <р2 -+- (Р2 -+¦ X) 9" - 2Х91?2.
Полагая <р2 = 0 или 0 (закрепляя маятники), получаем парциальные системы.
Для них потенциальная энергия
Ux~-
?21 и U2
Pi-
Собственные частоты парциальных (в нашем толковании) систем равны:
(6)
7^-> ла = |/-
Обычно под частотами отдельных систем понимают:
ni=j/7T' п* = У ^
Это-нечто другое. При л1=л2 возможно и
Мы увидим, что влечет за собой равенство или неравенство парциальных
частот в нашем понимании. Мы увидим, что частотами парциальных систем
целесообразно считать именно щ и л2; особые явления наступают тогда,
когда л1 = л2, а не в том случае, когда маятники без пружин имеют
одинаковые частоты (т. е.
* *\
.Лх= Л2).
Напишем, исходя из (5) и (6), уравнения движения, разделив их на Д и /2:
Рис. 103.
?2-+-nl92-
Общее решение есть
<рх = Cj COS (<0j# OCj) -+- C2 cos (<V -4- oc2),
<p2 = k1C1 cos ("]?-+- 3Cj) k2C2 cos (o2t -+¦ oc2),
(8)
(9)
254
ЛЕКЦИИ по колебаниям, часть первая
причем
п\-+-п\± \j(n\ - л^)2 -+- 4Х2/У11.
2 ' <1())
t "I -"2 vW - л2)2-н4А2//172
- 2X//j ¦
Если для частоты мы берем знак плюс, то для коэффициента к нужно брать
знак минус.
Выясним физическое содержание этих формул.
Принято вводить обозначение
?2 = (Р^Щр^гк) <12)
и называть отвлеченное число р коэффициентом связи. Последний член под
корнем в (10) и (11) можно написать так:
= 4о'2л2л2 hh ^ = 2'
Здесь нет пока хорошей терминологии. Говорят, что связь слаба, если
Р<1. (13)
Это значит, что добавочный член в энергии, обусловленной связью, мал по
сравнению с остальными. Но это мало что дает, т. е. не это характеризует
явления.
Немного больше дало бы такое определение малости связи:
Это значило бы, что связь мала, если пружина мало влияет на каждый
маятник.
Существенна другая малость. Важно соотношение двух величин под корнем:
и 4рЭД.
Важно, как мы сейчас увидим, выполняется или нет условие
[2 2 1
(14)
"1"2
Решающее значение имеет разность л2- п\. Если лх = л9, то физически не
бывает слабой связи.
ДВАДЦАТЬ ПЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
255
Важна степень физической "связанности". И в том случае, когда р очень
мало, т. е. связь очень мала, "связанность" систем может быть велика.
Выразим это иначе. Нас интересует, получится ли сильное взаимодействие.
Оказывается, что в случае, когда р очень мало по отношению к единице, но
не по отношению к | п\ - п\ \jnLn2, то, несмотря на "слабую связь",
взаимодействие будет очень сильное.
Если мы хотим определить "связанность" так, чтобы она характеризовала
взаимодействие, то в качестве условия малой связанности нужно требовать,
чтобы выполнялось условие (14). При этом если щ - п^, то вообще не может
быть малой "связанности".
Если отдельные системы расстроены одна по отношению к другой, то с
точностью до величин второго порядка по 1 (т. е. если отбросить члены
порядка I2 и т. д.)
При слабой связи, если "связанность" достаточно слабая, то в первом
порядке нормальные частоты не отличаются от парциальных.
Рассмотрим величины кх и &2. Величина кг характеризует относительную силу
первого колебания во второй координате; величина 1 jk2 характеризует
относительную слабость второго колебания в первой координате.
При вычислении кj мы не имеем права пренебречь 'к1. С точностью до членов
высшего порядка по 1
Если 1Х и /2 - одного и того же порядка, но если л,/(Л1-немалая величина,
то кг-очень малая, к2 - очень большая величина. Картина ясна: первое
колебание ограничено главным образом первой системой, второе колебание -
главным образом второй системой. Каждая частота соответствует "своему"
маятнику. Уже одно это показывает, что физически связь очень мала. Каждый
маятник колеблется почти так, как будто бы другого нет.
Если /г1 = л2 = п, то для частот получаются такие выражения:
= Л2 (1 р). = п2 (1 - р).
.256
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Если парциальные системы имеют одинаковые собственные периоды, то, как мы
видим, связь сказывается на частотах в первом порядке по 1 (так как р
пропорционально 1). При различных пх и п2 частоты не отличались в первом
