Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мандельштам Л.И. -> "Лекции по колебаниям" -> 83

Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.

Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям — Академия наук СССР, 1955. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipokolebaniyam1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 160 >> Следующая

приближении, можно узнать, как меняются частота и распределение без
сложных вычислений.
Такой подход характерен Рис. 107. " п
для теории возмущении. Проиллюстрируем его на простом примере системы с
двумя степенями, свободы. Напишем снова:
U = ах2 * 2hxy -+- by2,
T=Ax--t-2Hiy4-By2.
Отбросим точки в выражении для Т, обозначим
и составим отношение полученных таким образом выражений:
а + 2А? ¦+¦ А?2 у
Мы доказали, что максимальное и минимальное значения этой функции от ?
получаются соответственно при ? = и ? = ?2 и равны квадратам нормальных
частот:.
Пусть теперь немного изменился один из параметров, входящий в Т или U.
Изменятся нормальные частоты и отношения и ?2. Утверждение состоит в
следующем: чтобы найти с точностью до величин второго порядка
относительно изменения параметра новый максимум выражения (1), нужно
подставить в него прежнее Ъг._________
1 [См. 24-ю лекцию.]
р §-vP*-1 § 1_Т щ §
s-A.
ДВАДЦАТЬ¦ ШЕСТАЯ ЛЕКЦИЯ
265
Докажем это. Будем менять, скажем, параметр а и рассматривать ojj как
функцию параметра а и величины Е,х:
°i = /(", I),
причем ? = ?(а), т. е.
О)
,2-
;/[а, ?(а)].
Если меняется параметр а, то меняется и u>j, причем в первом порядке:
Л 2 А ^ I
Ды2 = -- да -+- _ _- Да,
1 да di da
df л
где производную нужно брать при неизмененных параметрах
и подставить в нее старое значение а.
Но при старом значении а подстановка значения ? = обра-
щает величину в максимум, и потому
4f = 0, Дсо? = 4^-Да.
os ' 1 оа
Изменение \ выпадает.
Для того, чтобы пояснить математическую сторону дела, приведем следующий
пример: возьмем функцию
л:2 -+- ах
и изменим параметр а. При этом изменяется значение л:, дающее экстремум
функции. Но если а изменяется на малую величину первого порядка, то
значение л:, соответствующее экстремуму,
остается прежним с точностью до величин второго порядка.
Только что указанный простой способ нахождения изменения частот имеет
одно очень важное исключение. Это - случай, когда в исходной системе нет
связи и обе частоты совпадают:
2___ а______ 2_ ^
Л1 ~Д Л21 ~В1
а возмущение заключается в том, что вводится малая связь.
Если мы захотим применить общий способ, мы должны будем подставить в
выражение (1) для возмущенной системы значения ? в невозмущенной системе.
Но чему считать равным это ?? Неизвестно. В исходной системе % может
иметь какие угодно значения. Так решать задачу нельзя.
266
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Но легко доказать следующее. Если
а ___ Ь
А~ ~В '
то при наличии связи
ь '
а
а раз мы нашли ^ и ?2, то очень просто найти обычным путем нормальные
частоты как максимум и минимум выражения (1). Здесь также есть
исключительный случай-тот, когда
Но тогда и при возмущении попрежнему нет связи.
Случай, когда две тождественные системы с одной степенью свободы, сначала
не связанные, приходят в слабую связь, имеет в теории возмущений большое
значение. При этом всегда наступает полная перекачка энергии. К этому
случаю применим только что указанный способ расчета.
Перейдем к вопросу о действии внешней периодической силы на систему с
двумя степенями свободы. Вернемся к уравнениям Лагранжа:
Если обобщенные силы Q,- содержат, помимо слагаемых Q'., имеющих
потенциальную энергию:
еще слагаемые Q'!, происходящие от внешних воздействий, уравнения
принимают вид
Пусть система имеет две степени свободы и пусть на координаты х та у
действуют синусоидальные силы с частотой р (например, рис. 108). Тогда мы
получаем уравнения движения:
h _ а
ТГ~"А
Ах-+-Нуах-+-hy = X cos pt; 1 Н'х -+- By -+- hx -+- by = Ycos pt. j
(2)
двадцать шестая лекция
267
Будем искать решение в виде
л: = У-
- a cos pt, ¦ (3 cos pt.
(3)
Подставляя эти формулы в дифференциальные уравнения, получаем для ос и р
систему алгебраических уравнений:
(а-
(А-
¦ Ар2) а • Яр2) а
(А-
-(А-
-Яр2)(3 = *; -?р2)[3=Г.
(4)
X
Из них мы определим амплитуды обеих координат при действии внешней силы.
При собственном колебании детерминант должен был равняться нулю. Из этого
условия мы определяли нормальные частоты. При любом р, таком, что
детерминант системы отличен от нуля, система (4) имеет решение. При этом
однородные уравнения не имеют решения.
Напишем решения неоднородных уравнений в виде отношения детерминантов:
X h - Hp2 Y Ь - Вр2
Рис. 108.
1
•Ир2 X Hpl Y
(5)
где
Л =
(6)
- Ир2 А - Яр2 -Яр2 Ь - Вр2
Здесь возникает ряд вопросов, чуждых системе с одной степенью свободы.
Пусть Y=0, Х^О (сила действует только на первую парциальную систему).
Тогда
е_ X(h-Hp^)
Пусть теперь сила действует только на вторую парциальную систему: Х=0, Y
=А= 0. При этом
Y (h - Нрг)
Мы получили замечательное свойство--свойство, далеко идущее и очень
общее: если на вторую координату действует сила
268
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Y= 1, то движение первой координаты-такое же, как движение второй
координаты, когда на первую будет действовать сила Х=1. Это - знаменитая
теорема взаимности. Она справедлива для систем с любым числом степеней
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed