Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
по X Важно знать, что получится при щ = п2 для кх и к2. Здесь
кг = ~ \/Jj2, ** = -*- j/A.
Теперь относительная сила первого колебания во втором маятнике .и второго
колебания в первом вовсе не мала. В частности, если
h = 4" т0
кх== 1, &2;=1,
причем это соотношение не зависит от величины связи. Как бы связь ни была
слаба, и первое и второе колебания одинаково сильно представлены как в
первом, так и во втором маятнике:
<р2 = Сх COS ("Dj# -+- OCj) -+- С2 COS (<02f -н a2);
<p2 = - C2 COS (<uxf -4- а2) -+- C2 cos (m2# -+- oc2).
Резюмируем. Если оба маятника расстроены (п1=^=п2) и слабо связаны
[выполнено (14)], то каждый сохраняет приблизительно свою частоту. Если
мы отклоним и приведем в колебание первый маятник, то второй почти не
колеблется.
Совсем другое дело в случае равных парциальных частот. Как бы ни была
слаба связь, нормальные колебания таковы: маятники колеблются с
одинаковыми амплитудами, при более быстром колебании-навстречу друг другу
(рис. 104, а), при более медленном---в одну сторону (рис. 104,6).
Таковы нормальные (синусоидальные) колебания. Посмотрим теперь, каково
будет взаимодействие, если мы выведем первый маятник из состояния
равновесия, а второй - нет. При этом будет колебание, отличное от
нормального. Нам нужно решить задачу о том, как передается энергия от
одного маятника к другому.
Зададим для простоты такие начальные условия. Пусть при Л = 0
?1 = 1, ?2 = 0, 91 = 0, <р2 = 0.
Взяв в (9) а2 = а2 = 0, мы удовлетворим последним двум условиям. Первые
два условия дают уравнения:
С2-+-С2 - 1, кхСх -+- к2С2 = 0,
ДВАДЦАТЬ ПЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
257
-откуда
так что
Ci-
кх - h.
, с>
ki
h-h '
?1=
?2:
~ki - V cos kl cos l"2^'
fclfc
(15)
fr.1 fc ( COS -4- cos o>2t).
Эти уравнения и дают нам ответ на вопрос о том, как передается энергия от
первого маятника ко второму, если вначале возбужден первый маятник.
Заметим, что выражение для <р2 можно представить в виде
2&Х&0 • Ь>1 - too , . 0>х -+- со2
(c)2 = -L~ sin ~~-4 t ¦ sin -Ч, - t.
гг "1 - h 2 2
(16)
Второй множитель - быстро колеблющаяся синусоида, а первый множитель -
переменная ам- б) плитуда. Получаются биения. Максимальное значение f2
наступает тогда, когда оба множителя равны единице:
2Ч&2
¦ 2тах к!~к2 '
или, если подставить сюда (11),
Рис. 104.
?2"
2\
/2 V("1 ~ "if •+- 4^2//х/2
(17)
Возьмем первый случай, когда
Тогда приближенно
Таким образом, если парциальные системы расстроены, то при слабой связи
передача энергии ничтожна и тем меньше, чем меньше У.
17 JI. И. Мандельштам, том IV
258
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Совсем иначе будет в случае, если парциальные системы настроены, т. е. п1
= п2. Тогда
При "резонансе" парциальных частот колебание "заразительно". Если If -
/2, т. е. маятники тождественны, то ф2 =1, -максимальное значение
отклонения второго маятника равняется начальному отклонению первого
маятника. Это значит, что вся энергия передается через некоторое время
второму маятнику. В этом состоит другое проявление того, что если связь
как угодно слаба, но отдельные системы друг на друга настроены, то все же
"связанность" очень велика.
Если есть различие между пг и п2, то всегда можно выбрать столь малое 7,
чтобы не было заметного взаимодействия. Если же ni~n2> то пслабо" связать
системы невозможно: всегда есть сильное взаимодействие.
Как зависит амплитуда <р2тах от расстройки? Формула (17) напоминает
формулу
для колебаний системы с одной степенью свободы под действием
синусоидальной внешней силы. Там мы имели явления резонанса. Структура
формулы (17) - совершенно та же. Достаточно малой расстройки между
частотами, чтобы сильно расстроить передачу энергии.
Но в случае (18) амплитуда силы постоянна, теперь же она переменна.
Второй маятник не может получить больше энергии, чем имеет вначале
первый. Когда один раскачивается, другой теряет энергию. Здесь - не
действие на маятник силы с заданной амплитудой, а взаимодействие. Как бы
велико ни было 7, 92шах не будет больше единицы.
Картина смещений обоих маятников показана на рис. 105.
При очень слабой связи перекачка энергии от первого маят-
ника ко второму происходит очень медленно, но если п1 = п2, то в конце
концов перекачается вся энергия. Но можно ли поверить, что такая полная
перекачка получится на самом деле при сколь угодно слабой связи? Мы
пришли к парадоксу. В реальных условиях этого не может быть.
Теория правильна, но она перестает
Е
(18)
L V'(w2_p2)2.+_482p2
ДВАДЦАТЬ ПЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
259
быть применимой при слишком малой связи. В молекулярной физике область
применимости нашей теории простирается гораздо дальше, чем для маятников.
Там она дает "парадоксальныено реально наблюдаемые вещи: очень сильное
взаимодействие при чрезвычайно слабых связях. Там это имеет еще большее
значение, чем в обычной теории колебаний.
Разберем подробнее наш парадоксальный результат.
Пусть X очень мало (представим себе, что мы уносим второй маятник в
другую комнату).
