Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
(нормальных частот), наступает резонанс. Если машина не имеет постоянного
числа оборотов и если нормальные частоты близки к парциальным, то легко
может наступить переход от успокоения к резонансу; при этом машина начнет
сильно раскачивать фундамент.
Полное успокоение имеет место только при отсутствии затухания. Если есть
малое затухание, то а=^=0, а только очень мало. Но при этом не так
страшна неточность совпадения частот р и п2-Введя затухание, мы понижаем
эффект успокоителя, но зато делаем его менее чувствительным к изменениям
периода внешней силы. Полный расчет здесь очень громоздок, и мы не будем
его проводить.
ДВАДЦАТЬ СЕДЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
271
Приведем два существенных применения изложенной теории.
1. Успокоитель качки судов. Судно на воде приходит в колебания. Давно
возник вопрос о том, как их успокоить. Было предложено много решений. Вот
принцип одного из них - успокоителя Фрама (1911 г.). Вода в резервуаре
(рис. 110) - одна колебательная система, корабль - другая. На корабль
действует периодическая сила. Период колебаний воды в резервуаре подобран
так, что он приблизительно совпадает с периодом качки. Вода начинает
очень сильно колебаться, но колебания корабля заметно успокаиваются.
Колебания воды не создают никаких неприятностей.
Рис. 110.
Рис. 111.
Конечно, волны не имеют какого-то одного определенного периода, и здесь
нужно найти компромисс между степенью успокоения и нечувствительностью к
периоду качки. Он достигается подбором затухания, которое регулируется
открытием крана в трубе, через которую перекачивается воздух. Опыт дал
благоприятные результаты.
2. "Пробка" в электротехнике. В схеме рис. 111, если
то ток х в цепи Llt Сг будет равен нулю. Если же равенство (1) нарушено,
х=^=0. Контур LC обладает бесконечным сопротивлением для определенной
частоты и запирает цепь для этой частоты.
Явление здесь сходно с резонансом. В контуре рис. 112,а случай (1), когда
ток максимален, принято называть резонансом напряжений, так как на.
конденсаторе и катушке получаются большие напряжения (по сравнению с
общим напряжением на клеммах). В случае же "пробки" (рис. 112,6) говорят
о резонансе токов, потому что ток в контуре LC имеет при условии (1)
большую амплитуду (по сравнению с током в общей цепи). Эта теория очень
проста, но простота куплена ценой отказа от рассмотрения
272
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
затухания. При проектировании действительных устройств нужно, конечно,
учитывать затухание. Выясним, какие изменения оно внесет.
Без затухания мы получили ос = 0, (3=^=0. Но если а = 0, то откуда
берется энергия второго контура? Поскольку сопротивление отсутствует, нет
ничего удивительного, что при установившемся процессе энергия во второй
контур не поступает, - она в нем не потребляется.
Но пусть имеется сопротивление. Из математических соображений
непрерывности можно заключить, что при достаточно малом сопротивлении ток
мало отличен от того, который был бы без
а)
о
о
о
о
о
о
Рис. 112.
сопротивления. Пусть для простоты L1 = 0, С1=со (рис. 111), т. е. речь
идет о схеме рис. 112, б'. Тогда амплитуда тока через С будет
I=pCS. (2)
Если сопротивление мало, то ток через L имеет амплитуду, очень близкую к
этому значению. Но теперь потребляется мощность RP/2. Она откуда-то
поставляется. Это возможно только благодаря тому, что есть ток во внешней
цепи. Этот ток - в фазе с электровозбудительной силой (что очень легко
показать), а тогда легко видеть, чему он равен:
Я/2__/д?
2 2 '
или на основании (2)
При малом сопротивлении ток очень мал.
Таким образом, в действительности пробка имеет конечное сопротивление,
которое тем больше, чем меньше R. Если R мало, действие пробки очень
острое.
ДВАДЦАТЬ СЕДЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
213
На примере успокоителей особенно ясно, насколько нужно быть осторожными в
вопросе о том, что называть парциальными частотами. Если стремиться
сохранить тот результат, что успокоение наступает тогда, когда внешняя
частота равна собственной частоте парциальной системы, то нужно
пользоваться тем определением последней, которое мы дали.
Собственные частоты системы инвариантны по отношению к выбору координат,
и, следовательно, частоты, при которых наступает резонанс, не зависят от
выбора координат. Частота успокоения зависит от того, где, в какой
координате тушится колебание. При включении внешней силы в три разные
ветви (рис. 113) успокоение будет наступать при трех различных частотах
внешней силы. Каждый раз это будет собственная частота контура,
получающегося, если разорвать ветвь, в которую включена внешняя сила.
Это практическое приложение подтверждает целесообразность нашего
определения парциальных систем.
Когда частота внешней силы совпадает с одной из нормальных частот,
происходит силь- ^ис
ное возбуждение колебаний, наступает резонанс. Здесь есть, однако,
момент, существенно отличающий системы с двумя степенями свободы от
системы с одной степенью свободы. В простом контуре при р = ш0 (ш0-
