Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
чтобы найти 8 и св. Для этого нужно решить уравнение (11). Найдя 8 и со,
мы сможем из уравнений (9) определить а и (S. Это нам даст величины
Здесь есть очень существенное отличие от случая отсутствия затухания. Там
отношение к было действительной величиной, т. е. фаза нормального
колебания в первой и второй координате была всегда одна и та же. Теперь
отношение получается комплексным. Это означает, что есть сдвиг фаз между
координатами.
Таким образом, в случае системы с трением или сопротивлением характерным
является
1) затухание колебаний,
2) сдвиг фаз между колебаниями каж- Рис- Н4.
дой из частот в обеих координатах.
Было время, когда вопрос о затухающих колебаниях в системах с двумя
степенями свободы стоял очень остро. В передатчиках использовали тогда
собственные колебания связанных систем (рис. 114). Второй контур
соответствует антенне. Когда искровой промежуток пробивается, контуры
начинают колебаться, происходят затухающие колебания с двумя частотами.
Важно было рассчитать, как зависят эти колебания от параметров контуров.
Пользуясь тем, что сопротивления малы, находили приближенное решение.
Теперь затухающими колебаниями почти не пользуются, и эти проблемы в
значительной степени утратили интерес.
Я хотел бы обратить ваше внимание на то, как удается иногда обходить
решение уравнений (ряд опытов приводит к вопросам, на которые можно
ответить, не решая уравнений).
Часто важно знать интегральный эффект в первом или во втором контуре,
например, какая рассеялась энергия
оо
)¦ Rrdt.
0
278
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Можно найти этот интеграл, не решая уравнений. На этом примере мы увидим,
в чем состоит метод.
Пусть, например, в начале (? = 0) заряжен только первый контур и
начальные условия таковы:
?i = <7io> = h = 4i = 0, /2=^2==0. (12)
Умножим первое уравнение (7) на i1 = q1, второе - на = и сложим, а затем
проинтегрируем по t от 0 до со. Учитывая начальные условия (12), мы
получаем:
СО СО 2
j' Rtfdt J R3$dt= I** .
0 0 1
Физический смысл здесь ясен: первоначально сообщенная энергия равна
потребленной энергии. Интерес представляет применение этого метода к
электродинамометру1. Если по обмоткам пропускаются токи i1 и г2, то
вращательный момент пропорционален величине
00
J lyinlt.
о
Важно знать, при каких условиях этот момент будет равен нулю. Это будет,
оказывается, при любых Rx и R2, если
Этот результат далеко не тривиален.
Ряд подобных вопросов удается решить именно таким способом. Очень часто
при рассмотрении затухающих колебаний приходится пользоваться
приближенными методами. Метод, о котором сейчас шла речь, является не
приближенным, а точным.
Затухающие колебания отжили свой век в радиотехнике, но жаль забыть
некоторые замечательные проблемы, на решение которых было затрачено много
остроумия.
В самом начале в передатчиках применялся простой контур (рис. 115). Это
очень невыгодно. Передатчик должен решать две задачи: первая--генерация,
вторая - излучение. Их нерационально решать в одном контуре. Поэтому были
введены системы с двумя
1 [Ср. том I, стр. 173, а также 12-ю лекцию.]
ДВАДЦАТЬ ВОСЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
279
степенями свободы (в одном из контуров можно создать большую емкость и
накопить много энергии).
Энергия перекачивается из одного контура в другой, возникают два
колебания с разными частотами. При приеме на резонанс это нежелательно.
Требование техники состояло в том, чтобы избежать в таком передатчике
"двуволнистости". Но она органически связана с наличием двух степеней
свободы. Ф. Браун предложил остроумный метод. Его идея заключалась вот в
чем: надо убрать первый контур в тот момент, когда вся энергия
перекачается во второй. Но как это сделать? Много труда было затрачено на
решение этой задачи. М. Вину удалось найти новое физическое явление,
решившее вопрос.
Вин создал очень малый разрядный промежуток, примерно в 0,1 мм. Когда в
нем наступает пробой, он становится проводником. Но можно подобрать такие
условия, при которых разрядный промежуток теряет свою проводимость, если
ток становится очень слабым. Это достигается охлаждением. Тогда первый
контур размыкается сам собой, автоматически, как только амплитуда его
колебаний становится очень малой, и обратной перекачки энергии не
происходит.
При этом среди рациоспециалистов возникли первые разговоры о проводниках,
не подчиняющихся закону Ома. Уже здесь стало видно, насколько нелинейные
системы--системы, не подчиняющиеся закону Ома, - существенны для
радиотехники.
ДВАДЦАТЬ ВОСЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
(6/IV 1931 г.)
Затухающие колебания системы с двумя степенями свободы. Оптические
применения теории связанных колебаний. Примеры систем с большим числом
степеней свободы. Самовозбуждение систем с произвольным числом степеней
свободы; условия Раута-Гурвица. Случай кратных корней;
ошибка Лагранжа.
Введем новые обозначения, которые нам понадобятся для систем с п
степенями свободы. Будем обозначать координаты буквой q с индексом
