Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
явно неправильную, но гениальную вещь.
Будем рассматривать кристалл как сплошное тело. Будем говорить для
простоты о стержне в одном измерении (не о цепочке из п частиц, а о
макроскопическом стержне). Вычислим частоты его собственных колебаний.
Пусть I - длина стержня, р -плотность, Е-'модуль Юнга. Тогда скорость
распространения звука
Вот что дает теория сплошных систем.
Но колебания с малым s, т. е. длинные акустические волны в кристалле, -
заведомо такие, которые дает теория сплошных
него формулу (8). Сплошной стержень имеет бесчисленное множество таких
собственных колебаний (s = l, 2,..., сю). Если рассчитать теплоемкость по
такой модели, получается очень плохой результат.
То, что сделал Дебай, сводится к следующему. Кристалл имеет N-Зп
колебаний. Вычислим частоты по формуле для сплошной среды, но возьмем
только первые 3п частот, первые Зл колебаний и отбросим остальные. Это
смело и заведомо неправильно, но это исключительно сильный прием. Дебай
так сделал и сумел разрубить узел.
Теория Дебая была первой серьезной теорией теплоемкости кристалла. Дебай
получил для ряда тел замечательно хороший
длины волн
где s-целые числа, и для частот мы получаем:
(8)
систем. Забудем, что кристалл имеет структуру, и напишем для
ДВАДЦАТЬ ДЕВЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
295
результат. Но, как мы скоро увидим, есть такие случаи, когда теория Дебая
не дает совпадения с опытом.
За проблему теплоемкости кристаллов взялись также Борн и Карман. Они
решили взять быка за рога, просчитать собственные колебания
кристаллической решетки, найти частоты и типы колебаний, рассматривая
дискретную решетку как таковую, не сводя ее к континууму.
Решение этой задачи можно довести до конца в силу высокой симметрии. При
этом получаются принципиальные отличия от
Рис. 118.
сплошной среды - качественное своеобразие, обусловливающее ряд явлений.
Рассмотрим простую одномерную модель (рис. 118) -1 цепочку частиц
(атомов), связанных одинаковыми пружинами. Если атомы одинаковы, то
результат Дебая довольно хорошо подходит; различие между дискретной
системой и континуумом скрыто. Но предположим, что в цепочке чередуются
два сорта атомов, имеющих различные массы (рис. 119). Этого достаточно
для того, чтобы выяснить все принципиальные, основные вопросы, связанные
с различием между дискретной системой и континуумом.
'тлгчутпяпг'^У
Рис. 119.
Пусть все четные массы равны М, все нечетные - т. Пусть а - постоянная
пружины (при удлинении ее на ДI возникает сила -аД/). Пусть расстояние
между соседними атомами равно d.
Для того, чтобы сравнивать результаты, которые мы получим
для цепочки, с тем, что дает теория сплошного стержня, нужно
будет принять во внимание следующее.
Пусть Е-модуль Юнга цепочки. Тогда, очевидно,
* = ?• (9)
Пусть далее р -масса цепочки на единицу длины (линейная плотность). Масса
всей цепочки (длина ее /) равна
п {М -+- т) - р/ (10)
296
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
(л- число частиц каждого сорта). С другой стороны,
/ -- 2nd. (11)
Мы считаем здесь п настолько большим, что можно пренебречь отличием между
2л и 2п-+-1 (следует заметить, что такое пренебрежение даже при очень
большом п допустимо не во всех вопросах). Из соотношений (10) и (11)
следует, что
п(М ш) _____ М -+-
р =-----7----= - -j-. (12)
Пусть х(к) - координаты атомов первого сорта, у^ - координаты атомов
второго сорта. Нумеровать атомы мы будем подряд, так что к будет
пробегать все нечетные, a j - все четные значения. Концы цепочки будем
считать закрепленными. Мы могли бы считать, что к принимает значения 1,
3, ..., 2п - 1, a j - значения 2, 4,... , 2п; но уравнения будут гораздо
более симметричны, если координаты закрепленных точек мы назовем г/(0) и
хР"+Ч" У нас будет при этом уже не 2п, а 2лч-2 частиц и столько же
координат. Так как концы закреплены, мы потребуем, чтобы было
у(°) - 0, х(ги+1> = 0. (13)
Потенциальная энергия U состоит из энергий отдельных пружин 2U = а
[(г/<°) - х*1')2-I-(х" - -ь (г/<2> -,х<:!>)2 (14)
Для кинетической энергии Т имеем:
2 Т = m f(x")2 -ь (х<3>)2 -I- ...]н M[(yUf I (yWf -н ...]. (15)
Уравнения движения могут быть получены с помощью выражений (14) и (15)
(как уравнения Лагранжа). Они могут быть получены также с помощью
элементарных механических соображений, учитывающих силы.
Для к-то атома массы m имеем:
m?ft-f-a{2xi*> - (* = 1, 3, ..., 2л-+-1). (16)
Для у-го атома массы М имеем:
Му& -н " (2yW - [хР-Ч ч- х<'+1>]} =0 (у = 0, 2, 4, ..., 2л). (17)
Всех уравнений движения 2п~*-2.
ДВАДЦАТЬ ДЕВЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
297
Казалось бы, особенных успехов мы не достигли: нужно решить систему из
1024 уравнений! Но здесь будет видна мощь применения индексов. Ничтоже
сумняшеся, полагаем:
x^^cosK-t-o),
yV) - 2JC-0 COS ((r)? н- 9)
(так мы делаем всегда, когда ищем решение уравнений дискретной линейной
консервативной системы со многими степенями свободы). Мы получаем:
(2а - W) А<к> - а [В^ -+- ?(А+1>] = 0;
-а\А^У> -г Аи+1)] -н (2а - Мы2) В& = 0.
Мы превратили, таким образом, 2п-+-2 дифференциальных уравнений во
