Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
(3)
(4)
Неизвестными являются X и .ДО. Система линейна и однородна по отношению к
А<1с>. Она имеет решения, отличные от нуля, только если детерминант
Л(Х) = 0,
или более подробно
j а1;1Х2 ч- 6ПУ- ч- С]j. . . аьД" ч- 6iKX ч- Сы I а21Х2 ч- 62Д ч- с,]. •
. агиХ' ч- 62Д ч- С2и
(5)
= 0,
Л;> 1А 1 ' С. ; - . * (I ) '¦ Ч Су,
ДВАДЦАТЬ ВОСЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
283
т. е. только при определенных А. Найдя корень детерминанта Л (А), мы
подставим его в уравнения (4) и найдем затем значения всех A(fc).
Уравнение (5) есть уравнение степени 2п. Оно имеет 2п корней. Можно
удовлетворить уравнениям движения (2), подставив в (4) первый корень
уравнения (5) и найдя соответствующие A а также подставив второй корень
уравнения (5) и найдя соответствующие А^к\ и т. д. Мы получим таким
образом 2п частных решений системы (2):
q'P= А^в'-'1, qf'>=Af)e'"-t,. . ., q^ = А[к*е'^' (6)
Если отдельные частные решения (6) линейно независимы, то общее решение
будет
2м
qW = Y С(АФе* (k = 1, 2,. . ., п), (7)
{'=1
где С,' - произвольные постоянные. (Общее решение системы 2п уравнений
второго порядка содержит 2п независимых произвольных постоянных).
Система имеет п степеней свободы. Начальные условия задаются значениями п
координат и п скоростей. В решении (7) можно подобрать С< так, чтобы
удовлетворить любым начальным условиям.
Кинетическая энергия всегда положительна; потенциальная энергия при
колебаниях около устойчивого положения равновесия тоже положительна. Если
колебания сопряжены с развитием тепла, то диссипативная функция тоже
положительна.
Корни уравнения (5) могут быть действительными или комплексными. Так как
коэффициенты уравнения (5) действительны, то комплексные корни являются
попарно сопряженными. Можно доказать, что в случае, когда все три
квадратичные формы (1) дефинитны и положительны, действительные корни
отрицательны, а действительные части всех комплексных корней отрицательны
или равны нулю.
Действительным корням соответствуют частные решения (3) .вида
е-5< (S>0),
т. е. апериодическое стремление координат к нулю.
284
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Пусть уравнение (5) имеет комплексные корни
X j - • ^ -4- /(.> ?
¦ 7(0,
(&>0). (8)
Если при л = )ч уравнения (4) имеют решения A(lt), то при л = X* они
имеют решения Поэтому частным решением уравнений (2)
является действительная функция
= У.А^^е'-'--Ь/ш) i _|_ tj-'"-)¦) (
где ос-произвольная комплексная постоянная.
Пусть
А(к)=K4c)ei?<k\ rw =: дт I;
а = Се*\ С
1ос|.
(10)
В результате несложных выкладок из (9) и (10) получается qW = RWCe-0* cos
(tof +- <pW -+- ф).
Пусть все корни уравнения (5) комплексные. Тогда
И
qk)~ 2 RP cos (not I- <pp -t фу) (11)
есть общее решение системы (2), так как оно содержит 2л независимых
произвольных постоянных Су, фу (J = 1, 2,..., п). Физический смысл его
следующий: изменение каждой координаты есть сумма п колебаний, вообще
говоря, затухающих. Абсолютные амплитуды и абсолютные фазы суть
произвольные, зависящие от начальных условий, постоянные. Что же касается
относительных амплитуд и фаз, то они строго определены самой системой.
Часто забывают, что относительные фазы здесь задаются системой.)
То, что я здесь говорил о корнях уравнения (5), изложено в весьма изящной
форме у Гельмгольца, в томе его "Теоретической физики", посвященном
акустике1.
В настоящее время наибольший интерес для нас представляет вопрос совсем
другого характера - вопрос о возникновении и самовозбуждении колебаний.
Есть системы, для которых мы
1 [Н. v. Helmholtz. Vorlesungen iiber theoretische Physik, т. Ill, § 19 и
§ 21. Лейппиг, 1898.]
ДВАДЦАТЬ ВОСЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
285
приходим к системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами, но где отнюдь не сказано, что происходят потери энергии:
в этих системах могут быть и отрицательные сопротивления. Для схем,
содержащих контуры и лампы, уравнение (5) может иметь положительные
корни, а также комплексные корни с положительной действительной частью.
Если хотя бы один корень л положителен или имеет положительную
действительную часть, состояние равновесия неустойчиво, система удаляется
от него (самовозбуждается).
Поставим вопрос о том, каковы условия устойчивости и неустойчивости
равновесия в системе, описываемой системой линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами. Это важно, в частности, для
нахождения условий самовозбуждения лампового генератора, так как при
учете сеточного тока задача уже не сводится на рассмотрение системы с
одной степенью свободы1.
Заметим, что положительная дефинитность функции F-достаточное, но не
необходимое условие устойчивого равновесия -системы, описываемой
уравнениями (2).
Пусть дана система т линейных дифференциальных уравнений первого порядка
с постоянными коэффициентами. К такой системе можно привести нашу систему
из линейных уравнений второго порядка, причем т = 2п, где п - число
степеней свободы. Решая ее подстановкой (3), мы придем к детерминантному
