Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
то в первом приближении каждая иа них колеблется "сама по себе**. Если
частоты
1 [См. 27-ю лекцию.]
3 [См. 20-ю лекцию.]
262
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
парциальных систем совпадают, сильное взаимодействие будет и при сколь
угодно слабой связи.
Вопрос о взаимодействии при слабой связи интересен и получил решающее
значение в теории возмущений. Для того, чтобы понять, в чем тут дело,
напишем снова уравнения связанных маятников:
?i ni?i ~ тг^;
Если бы во втором уравнении справа стояла заданная функция времени, то
для второй парциальной системы была бы задача о вынужденных колебаниях
системы с одной степенью свободы. Эту задачу мы уже рассматривали. Но в
действительности мы не знаем <pj {t), ибо <рг связана таким же уравнением
с <р.,, как <р2 с <рг. Поэтому здесь нужна новая теория.
Вначале встречались такого рода недоумения. Если мы сначала пустим первую
систему, то она должна колебаться со своим собственным периодом и на
вторую систему будет действовать периодическая сила с частотой пг. Между
тем по теории должно быть две частоты. Откуда взялась вторая частота?
Парадокс получался только потому, что не умели правильно решать задачу.
Существование двух частот вполне естественно и с физической точки зрения:
если первое движение возбуждает второе, то оно изменяется под действием
этого второго движения. Сила, действующая на <р2, уменьшается по
амплитуде, а сила с переменной амплитудой - это уже не синусообразная
сила.
Но есть ли случаи, когда применимы .рассуждения, сводящие задачу о
связанных колебаниях на задачу о вынужденных? Если они есть, то в таких
случаях удобно решать задачу, как задачу о вынужденных колебаниях.
(Например, радиопередатчик на 100 квт и приемник образуют связанную
систему, но здесь наверное можно считать, что приемник совершает
колебания под действием заданной внешней силы.)
В нашем случае линейной системы задачу о связанных колебаниях можно
свести приближенно к задаче о вынужденных колебаниях тогда, когда связь
мала и есть сильная расстройка между парциальными системами (! \
| к21). При этом можно положить
ДВАДЦАТЬ ШЕСТАЯ ЛЕКЦИЯ
263
(л: колеблется почти так, как будто второй координаты нет). Случай, когда
связь мала по отношению к расстройке, соответствует слабой связанности в
нашем смысле.
Можно показать, что и при совпадении парциальных частот, т. е. когда п1 =
п2, если связь слабая, такой способ рассмотрения допустим в первое,
начальное время после того, как пустили первый маятник (второй вначале
покоится), т. е. в течение определенного числа периодов, зависящего от
связи. Это время тем меньше, чем больше связь. Здесь нельзя забывать, что
с течением времени наступает полная перекачка энергии.
До сих пор затухание не учитывалось. Пусть теперь имеется затухание и
такое, что колебания затухнут раньше, чем успеет произойти заметная
перекачка энергии. Тогда и при настройке парциальных систем (/г1 = п2) мы
получим все, что нужно, сводя задачу о связанных колебаниях на задачу о
вынужденных колебаниях.
Разумеется, как угодно малая расстройка физически не может играть никакой
роли в теории связанных колебаний. В окончательном результате не может
иметь значения, являются ли парциальные системы тождественными или слегка
различными. Как теперь известно, эту точку зрения нельзя переносить в
теорию атомных явлений. Там мы имеем основание говорить об особых случаях
полной тождественности двух систем. Вне наших возможностей не допустить
различия двух макроскопических систем хотя бы на ¦один атом. В
макроскопических системах точное число атомов не может играть роли. Но
когда речь идет об одном атоме, дело, обстоит иначе. Различие между
тождественностью и нетожде-¦ственностью системы имеет в волновой механике
важный физический смысл.
Возьмем связанную систему (рис. 107). Как выделить нормальные колебания
на опыте? С помощью волномера (при очень слабой связи между волномером и
исследуемой системой) можно разделить колебания с частотами ых и w2; но
если они близки, то раздельный прием очень труден. Свяжем, однако, с
исследуемой системой две катушки так, как показано на рис. 107. Тогда ток
/ будет линейной комбинацией координат х и у.
1= sLx -н s.jy.
Если мы подберем коэффициенты трансформации sx и s2 так, чтобы было s1-+-
s2&1 = 0, т. е. Sj/s2 = - klt то в токе I будет
264
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
отсутствовать частота <о1( и мы физически осуществим в дополнительной
цепи вторую нормальную координату. Аналогичным образом мы можем физически
осуществить первую нормальную координату.
В теории колебаний встречается целый класс задач следующего типа. Дана
система с такими-то частотами и такими-то распределениями амплитуд.
Изменим параметры системы. Как изменятся при этом частоты и
распределения?
Вообще говоря, для новых значений параметров нужно заново решать всю
задачу о нахождении частот и распределений. Но
часто бывает так,что параметры изменены очень мало, и тогда, в первом
