Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
наверху, а нормальные колебания, как прежде, - индексом внизу.
280
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Общее решение уравнений линейной системы с двумя степенями свободы с
учетом затухания мы запишем теперь в таком виде:
9(1) = /?рС1е-8|< cos (ijijt 1 -+- ф3) -н ^^С2е~г-г/ cos ( "р^1' ь
ф2);
q(2) - K^Cje-0,г cos (w3f -+- <р(32) ь ф3) -t- R(pC2e~~ ' ! cos (io2t I
p(22) -t ф2).
Структура самой системы задает частоты и затухания колебаний, а также
коэффициенты распределения амплитуд и R (они написаны теперь в
нормировке, отличной от прежней) и сдвиги фаз ср(1) и o(2j между
координатами. Величины С2, С2, ф3, ф2- произвольные постоянные,
определяемые начальными условиями.
Существенно новое по сравнению с системой без затухания состоит здесь в
том, что система задает сдвиги фаз между координатами.
Двадцать лет тому назад, до электронных ламп, когда приходилось работать
с затухающими колебаниями, имело смысл подробно рассказывать о
приближенных способах вычисления частот и затуханий в системе с двумя
степенями свободы. Теперь это не имеет смысла, но несколько слов все же
следует сказать.
Пусть у нас два индуктивно связанных контура со слабым затуханием.
Частоты можно рассчитывать так, как будто нет затухания, так как оно
влияет на частоты лишь во втором порядке. Затухание колебаний связанной
системы зависит от затухания каждой парциальной системы в отдельности.
При слабой связи величины S3 и §2 близки к тем затуханиям, которые каждый
контур имел бы сам по себе. Когда связь сильна, положение несколько
другое.
Задача о двух связанных системах имеет очень существенное значение в
оптике.
Мы представляем себе, что в каждой молекуле газа находится оптический
резонатор с определенной частотой v. Свечение газа объясняется тем, что
резонаторы колеблются с определенной частотой и газ испускает свет этой
частоты.
Пусть теперь на газ падает извне световая волна. Под действием этой волны
резонаторы приходят в колебания и поглощают энергию. Если период падающей
волны и период собственных колебаний не совпадают, резонаторы колеблются
слабо и поглощают мало. Если же периоды совпадают, то они колеблются
ДВАДЦАТЬ ВОСЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
281
сильно (резонанс) и поглощают много энергии. В этом заключается смысл
закона Кирхгофа.
Преломление объясняется следующим образом. Когда резонатор колеблется под
действием падающей волны, то он сам излучает. То, что мы видим, - это тот
свет, который прошел сквозь газ, плюс вторичное излучение, которое
испустили резонаторы под влиянием падающего света. Если подсчитать
результат такого сложения, то как раз получается правильное значение
показателя преломления*.
Как объяснить, что в плотном газе наблюдается расширение спектральных
линий, расплывание частоты? Исходя из только что указанных представлений,
мы получаем очень простой ответ: когда резонаторы сближены, они образуют
связанную систему. Такая система имеет ряд различных нормальных частот.
Частоты испускаемого света соответствуют этим нормальным частотам. Таким
образом, сюда прямо переносится то, что мы знаем о связанных системах. В
настоящее время известно, что модель простого классического резонатора
здесь непосредственно неприменима; атом гораздо сложнее. Но все черты
резонансной теории, в сущности, сохраняются и в современной теории.
Поведение атома под действием внешней силы чрезвычайно близко к тому, что
мы знаем из классической модели простого резонатора. Многие основные
черты старой интерпретации дисперсии, абсорбции, испускания света
сохранились и в новой теории.
Перейдем к системам с п степенями свободы (п >2).
Вал с двумя шкивами2 является системой с двумя степенями свободы, но в
действительных машинах бывает большее число шкивов. Иногда говорят: зачем
рассматривать общий случай п степеней свободы, - он практически не
встречается, достаточно рассмотреть 2, 3, 4 степени свободы. Это
неправильно. Есть много случаев, когда необходимо рассматривать большое
число степеней свободы. Правда, в обычных передатчиках устройства,
имеющие больше чем три контура, редко встречаются. Но в фильтрах бывает
5-10 ячеек.
Теория колебаний систем с п степенями свободы интересна, в частности, в
связи с вопросами структуры твердых тел и в особенности кристаллов3.
1 [См. том I, стр. 112 и след.]
2 [См. 24-ю лекцию.]
3 [С м. 29-ю и 30-ю лекции.]
282
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Рассмотрим систему с п степенями свободы, характеризуемую тремя
квадратичными формами: кинетической энергией, диссипативной функцией и
потенциальной энергией:
2Т= V
I, к
2F - V
к
2U- 2 c^(iVk\
'¦ к
(1)
причем
& ik Ькп Cjk С^;.
Уравнения движения
d / дТ \ <>U <)F п /• 1 о \
~dt \ д#*> ) dqV) f~ 0 ^ 1,2,.. ., л)
(без внешних сил) для такой системы имеют вид
2 (a,'q^ ч- ч- сл<7") = О (I =1, 2,. . .,
*•=]
(2)
Требуется решить эту систему дифференциальных уравнений. Сделав
подстановку
фк) (
мы получаем систему алгебраических уравнений
V
2 {dikF ч- Ь(к^ -+- с,*) =0 (t = 1, 2,. • •, л).
