Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мандельштам Л.И. -> "Лекции по колебаниям" -> 92

Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.

Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям — Академия наук СССР, 1955. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipokolebaniyam1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 160 >> Следующая

корня обязательно
Ai - А2 = А3.
Так как согласно (3) отношения амплитуд однозначно определяют частоту,
имеется только один простой корень. Следовательно, имеется еще двойной
корень.
Какое возможно соотношение между амплитудами в случае двойного корня?
Только такое:
Ач-Д2-4-Д3 = 0. (7)
Докажем это.
Предположим, что имеет место соотношение
кА-^ +¦ А^ t А3 0.
Тогда вследствие симметрии должно иметь место также
А1 I кА3 -+- А3 == 0"
19*
292
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Но для двойного корня существует единственное линейное соотношение между
амплитудами и, следовательно, к - 1.
Соотношению (7) удовлетворяют, например, значения
Аг = О, А2 = А3.
Подставляя эти значения в уравнение (3), мы найдем частоту.
Совершенно то же самое можно сказать о симметричной системе из трех
колебательных контуров (рис. 117).
Рассмотрим теперь принципиально важную группу вопросов, касающихся систем
с п степенями свободы:
1) динамику кристаллической решетки;
2) техническую задачу о фильтрах;
3) переход от дискретных к сплошным системам.
Начнем с применения общих соображений о системах с п степенями свободы к
кристаллическим решеткам. Изложение будет вестись на
Рис. 117. самых простых примерах.
Мы представляем себе кристалл следующим образом. В узлах решетки
находятся атомы. Атомы связаны между собой. Вся система может находиться
в устойчивом равновесии. Если сжать кристалл, а затем отпустить, он
приходит в колебания. Это - колебания системы с п степенями свободы около
устойчивого положения равновесия. В первом приближении система
описывается квадратичными формами, т. е. получается задача о колебаниях
линейной системы с п степенями свободы. Число атомов в кристалле обычных
размеров - порядка 1021. Число степеней свободы -того же порядка. Если бы
не было далеко идущей симметрии, если бы в кристалле не повторялись
одинаковые ячейки, то решить задачу было бы невозможно. Мы можем ее
решить только благодаря симметрии.
Если ударить по кристаллу, возникают акустические колебания. Они состоят
из п независимых (нормальных) колебаний. Тепловое движение кристалла-это
те же колебания. Заслуга Дебая состоит в том, что он увидел, что тепловое
движение кристалла - это упругие колебания, но только очень быстрые. Они
являются суперпозицией собственных (нормальных) колебаний решетки.
Раньше к задаче о колебаниях кристалла подходили так: рассматривали
кристаллы как континуум, вводили такие понятия, как плотность и упругие
постоянные, и получали для кристалла уравне-
ДВАДЦАТЬ ДЕВЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
293
ние в частных производных. Его гораздо легче решить, чем систему,
состоящую из очень большого числа обыкновенных дифференциальных
уравнений. В действительности кристалл не является сплошным, и поэтому
такое "сплошное" рассмотрение не может дать всего. К тепловым колебаниям
так подходить нельзя.
Теория тепловых колебаний кристаллов была поставлена на вычислительную
почву в связи с вопросом о теплоемкости твердых тел.
Вначале теория теплоемкости кристаллов строилась так. Каждый атом
рассматривался как осциллатор с тремя степенями свободы, т. е. как три
осциллатора. Таким образом, в кристалле, содержащем п атомов, имеется Зл
осциллаторов. Средняя энергия теплового движения каждого осциллатора
равна кТ (к - постоянная Больцмана; Т-абсолютная температура). Поэтому
полная средняя энергия теплового движения
W==3nkT.
Нельзя себе представлять, что в кристалле имеется Зл осциллаторов,
колеблющихся с одинаковой частотой. Если осциллаторы связаны, то имеется
Зл нормальных колебаний различной (вообще говоря) частоты. На каждое
нормальное колебание приходится по классической статистике одинаковая
энергия кТ, независимо от его частоты. Акустические колебания -
сравнительно медленные; частоты тепловых колебаний очень велики (в них v
доходит до 1013). Но раньше, в классической статистике, не нужно было
интересоваться частотами, ибо, повторяю, в ней энергия, приходящаяся на
каждое колебание, не зависит от частоты.
Опыт не подтверждает той зависимости энергии от температуры, которую дает
классическая теория.
Эйнштейн первый указал на то, что здесь нужно отбросить классику, что
резонатор, в согласии с теорией Планка, имеет среднюю энергию, равную не
кТ, а
Av
(А- постоянная Планка). Эта величина очень сильно зависит от v. Поэтому
для того, чтобы вычислить теплоемкость по квантовой теории, необходимо
знать частоты колебаний кристалла.
Эйнштейн решил задачу просто. Он подобрал разумным образом некоторую
среднюю частоту v. Основные противоречия были
294
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
устранены, но полученная таким образом формула не очень хорошо совпадала
с опытом. Теория была явно недостаточна.
Мысль о том, что нужно перейти к планковской теории, была огромным шагом
вперед. Но для того, чтобы подсчитать теплоемкость, нужно учесть, что в
кристалле имеются колебания с совершенно различными частотами. Как
рассчитать эти частоты? За эту задачу взялся Дебай в 1912 г. Он сделал
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed