Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
Так как в положении равновесия U минимум, то все di/jdqi равны нулю.
Ограничимся здесь очень малыми отклонениями. Тогда кубические члены малы
по сравнению с квадратичными, и в первом приближении их можно отбросить.
Для двух степеней свободы можно считать, что
Перейдем к кинетической энергии (5). Разложим функцию я,* в степенной ряд
по </х:
Отбросив и здесь все члены, кроме первого, получаем в случае-двух
степеней свободы следующее выражение для Т:
Из выражений (8) и (9) мы получим в качестве уравнений Лагранжа два
совокупных линейных дифференциальных уравнения для qx и q2.
В задачах, которые мы будем рассматривать, электростатическая энергия
есть квадратичная функция с постоянными коэффициентами от зарядов.
Коэффициенты определяются емкостями С. Магнитная энергия - квадратичная
функция токов, т. е. производных от зарядов. В ней коэффициенты
определяются индуктивностями L. Величины С и L не зависят от зарядов и
токов. Таким образом, вид формул (8) и (9) для всех рассматриваемых задач
одинаков. Мы применим их к частным случаям и на них выявим свойства
изучаемых систем. (Нагляднее всего исходить из конкретных физических
примеров.)
Мы рассмотрим сегодня два простых примера.
Первый пример: балка на двух пружинах (рис. 90). Этот пример и
практически интересен, так как представляет собой простую модель вагона
на двух рессорах. Нужно выбрать координаты, однозначно определяющие
конфигурацию системы. Пусть с-координата центра тяжести Р, л, и х2 -
координаты концов*
ЬиЯ\ - hiч\.
(8)
Т- auq\ -+- 2а12<)1<72 anql
(9)
ДВАДЦАТЬ ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ
233
6 - угол поворота балки. Между этими четырьмя координатами имеются два
соотношения (угол 6 по предположению мал):
Xl = '-lA
х2 = Н
Какие координаты здесь "естественные"? Физически все они равноправны. Но
вопрос о "естественности" тех или иных координат играл когда-то очень
большую роль.
Сначала мы напишем выражение кинетической энергии в одной системе
координат, а выражение потенциальной-вдру-гой. Пусть кх и ^ -
коэффициенты упругости пружин.
Тогда потенциальная энергия
U
По теореме
2
Л
2
~2
Кёнига можно складывать кинетические энергии
поступательного и вращательного движений, и, следовательно,
Т ¦=
М2
~2
/О ' 2
(М--масса балки; /-ее момент инерции).
Почему мы написали потенциальную энергию в одних, а кинетическую энергию
в других координатах? Потому что при этом в обоих выражениях нет
произведений координат или скоростей. Но выразим ? и 0 через хх и х2. При
этом в выражение кинетической энергии войдет, кроме суммы квадратов,
также и произведение скоростей. Наоборот, если перейти к ? и 6, то
кинетическая энергия будет суммой квадратов, а потенциальная энергия
будет содержать член с произведением координат.
Если потенциальная энергия содержит произведение координат, то говорят,
что имеется силовая связь (в механическом случае) или ёмкостная связь (в
электрическом случае). Если кинетическая энергия содержит произведение
скоростей, то говорят: система связана инерциалъно (в механическом
случае) или индуктивно (в электрическом случае). Если и в U, и в Т есть
члены с произведениями, то связь смешанная.
234
ЛЕКЦИИ по колебаниям, часть первая
Вот второй пример (рис. 91). Здесь
2 2 г "2 г '2
JJ 9i . ?2_________гр_______Ll4l . L24-2. . лл- ^
2С1 2Co' 2 2
Какова здесь связь? Емкостная или индуктивная?
На это следует ответить так: определение инерциальной (индуктивной) и
силовой (емкостной) связи, в сущности, условно. Введем координаты:
q\ = 9i-*~4v 92=9i"Ч?-
Тогда в выражении для U появится член с произведением координат, т. е.
будет иметь место емкостная связь. Можно возразить,
что введение координат и
q'.2- математическое ухищрение. Здесь "естественно" сказать, что связь -
индуктивная. Но в нашем механическом примере труд-рис gj_ но
сказать, что естественнее: взять
за координаты % и в (тогда связь силовая) или хг щ х.г (тогда связь
инерциальная).
Таким образом, тип связи зависит от выбора обобщенных координат. Говоря о
том или ином типе связи, нужно соблюдать известную осторожность. Может
быть правильнее всего было бы говорить о типе связи по отношению к данным
координатам.
ДВАДЦАТЬ ТРЕТЬЯ ЛЕКЦИЯ
(28/11931 г.)
Математическая теория линейной консервативной системы с двумя степенями
свободы. Нормальные колебания. Секулярное уравнение. Связь между
парциальными и нормальными частотами. Нормальные координаты. Общее
решение как суперпозиция нормальных колебаний.
Рассмотрим общий случай малых колебаний консервативной системы с двумя
степенями свободы около устойчивого положения равновесия. Потенциальная и
кинетическая энергия - квадратичные формы соответственно от координат и
скоростей:
U=ax1 -t-2hxy -+- by2; 1 Т - Ах2 -4- 2Нху -§- By1, j
ДВАДЦАТЬ ТРЕТЬЯ ЛЕКЦИЯ
235
Обе квадратичные формы положительно дефинитны. При атом
На рис. 92, а, б показаны два примера систем с двумя степенями свободы. В
качестве хну можно взять заряды на любых двух конденсаторах (рис. 92,а)
