Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
свободы. Связь между этими двумя парциальными системами дает нам исходную
систему. Наша исходная система получается в результате связи этих двух
систем.
Что значит положить х = 0? Это значит, что мы закрепили один маятник
(рис. 92,6) или разорвали один провод (рис. 99,6"). Железо при этом
должно остаться.
Разделение на парциальные системы зависит от тех координат, из которых мы
исходим. Если в качестве координат выбраны qt и 92(рис. 100, а), то
получатся одни парциальные системы (рис. 100, б)..
250
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Если ввести координаты q1 и q3 (рис. 100, а), то получатся другие
парциальные системы (рис. 100, в).
При нашем определении период каждой парциальной системы (рис. 92, б)
будет иной, чем у маятника без пружины. Мы просчитаем этот случай в
следующий раз.
Рассмотрим (в общем случае) систему с двумя степенями свободы, как
связанную. Тогда парциальные частоты пг и л2 (частоты парциальных систем)
определяются равенствами:
О Ч сл Ь
Л1= ~А ' = ~В '
Найдем общее соотношение между нормальными и парциальными частотами.
Отношения а/А, b/В принадлежат к числу значений, принимаемых отношением
(13), но не при ? = 0 и не при п = 0. Поэтому
"i > ni > п\ > "!•
Итах, существует следующая закономерность: собственные частоты отдельных
парциальных систем лежат между частотами связанной системы.
Если определить парциальные системы иначе, то между нормальными и
парциальными частотами мы получим самые разнообразные соотношения.
ДВАДЦАТЬ ПЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
(71III 1931 г.)
Случай вырождения - случай двух одинаковых нормальных частот. Еще раз о
парциальных системах и парциальных частотах. Задача о взаимодействии
парциальных систем. Слабая и сильная связь; слабая и сильная
"связанность*. Нормальные колебания и перекачка энергии в случае слабой и
сильной "связанности*. Парадоксу связанный с полной перекачкой энергии
при сколь угодно слабой связи.
Мы разбираем системы с двумя степенями свободы, описываемые уравнениями
вида
Ах -+- Ну + ах + hy = 0, \ ...
Нх -+- By -+- hx -+-by = 0. J
Решая эти уравнения, мы узнаем частоты колебаний и отношения амплитуд, с
которыми колеблются координаты х и у.
ДВАДЦА ТЬ ПЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
251
Может ли система с двумя степенями свободы иметь две одинаковые
нормальные частоты?
Для этого должно быть
Т = 1=F* <2)
Это возможно, если кинетическая энергия пропорциональна потенциальной
энергии, или, точнее, если квадратичная форма Т(х,у) пропорциональна
квадратичной форме U{x,y).
Мы видели, что нормальные частоты суть максимальное и минимальное
значения определенной дроби Ч Здесь максимальное и минимальное значения
совпадают. В случае (2) дробь имеет постоянное значение. Легко убедиться,
что этот случай - настолько вырожденный, что он физически мало интересен.
В этом случае соответствующей обработкой уравнений можно сразу перейти к
одной координате (без введения нормальных координат).
Умножим первое уравнение (1) на В, второе на Н и вычтем:
{АВ - Щ"х + {аВ - Л#)х = 0. (3)
Аналогичным образом получим:
{АВ - Н2) у -+- {ЬА - hH)у = 0. (4)
Хотя это сразу, может быть, не видно, но для каждого из двух контуров,
связанных так, что выполняется условие (2), получается отдельное
уравнение (3) или (4). При соответствующем подборе коэффициента взаимной
индукции М два контура (рис. 101) не связаны друг с другом. Связь через
емкость и связь через взаимную индукцию компенсируют друг друга, в
результате чего получаются два несвязанных контура.
Как было сказано в прошлой лекции, наша система может рассматриваться как
состоящая из двух выделяемых определенным образом частичных (парциальных)
систем, которые связаны между собой.
Часто опыт делается так, что приводит к следующей постановке вопроса:
имеются две колебательные системы; как происходит взаимодействие между
ними? Особенно важную роль играет такая постановка вопроса в молекулярной
динамике, в тех случаях, когда изучается взаимодействие двух атомов. По
волновой
1 [См. 24-ю лекцию, формула (13) и дальше.]
252
ЛЕКЦ !И ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
механике взаимодействие двух атомов - это взаимодействие двух:
колебательных систем.
При том определении составляющих (парциальных) систем,, которое мы дали,
частоты каждой из них лежат между нормальными частотами (рис. 102).
Связывая системы, мы раздвигаем нормальные частоты. Это - общая теорема,
но если бы мы определили парциальные системы по-другому, то она была бы
несправедлива.
41^1-- Выбор парциальных систем зависит:
М
от выбора координат.
ш,
а>7
Рис. 101.
Рис. 102.
Если в выражении для потенциальной энергии h=^= 0, то мьг говорим, что
имеется силовая (емкостная) связь; если в выражении для кинетической
энергии Н=^= 0, ¦-что имеется инерциаль-ная (индуктивная) связь; если
Л=^0, Н^= 0, - что имеется смешанная связь.
Это понятие качества или рода связи не инвариантно по отношению к выбору
координат. Также не инвариантна и величина связи. Но остановимся на
определенных координатах. Тогда имеет полный смысл говорить о том, что
