Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
называются обобщенными координатами.
Обобщенные координаты, полностью характеризующие конфигурацию системы,
можно выбрать различным образом. При этом одни обобщенные координаты
являются функциями от других обобщенных координат. Для того, чтобы
написать уравнение движения, нужно выбрать какие-нибудь п независимых
обобщенных координат.
Голономные системы характеризуются тем, что связи выражаются уравнениями
между самими координатами. Так обстоит дело, например, если точка
находится на поверхности:
Могут быть другого рода связи - связи неголономные, которые выражаются
уравнениями вида
fix, У, г) - 0.
(1)
fix, у, z, х, у, z)=0.
(2)
15 JT. И. Мандельштам, том IV
226
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Этот случай существенно отличен от предыдущего. Здесь, вообще говоря,
нельзя исключить одну из координат. Особенно важен случай, когда
уравнения вида (2) линейны по отношению к скоростям.
Самый простой пример связи вида (2) - повозка с двумя колесами (скат).
Положение системы определяют азимут 8 и координаты середины х и у. Не
существует определенного соотношения между xt у и 8. Пусть скат движется
по абсолютно шероховатой поверхности. Тогда | движение в каждый данный
момент перпен-
Рис. 86. Рис. 87.
дикулярно к оси. В направлении стрелки (рис. 87) скат двигаться не может;
он может только катиться. Это условие отсутствия скольжения выражается
уравнением
dy - tg 0 dx - 0.
Здесь исключение одной из координат х, у, 0 невозможно. Уравнения
движения систем с неголономными связями совершенно другие, чем для
голономных систем.
В теории колебаний задачи только что рассмотренного типа нас не
интересуют. Но есть промежуточный случай, который представляет большой
интерес для теории колебаний. Пусть связь выражается уравнением вида
Adx -+- Bdy -+- Cdz = 0 (3)
{А, В, С-функции х, у, z. Для простоты записи мы ограничимся тремя
координатами). Это так называемое уравнение Пфаффа. Левая часть может
иметь, но может и не иметь (если число переменных больше двух)
интегрирующий множитель. Для ската левая
ДВАДЦАТЬ ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ
227
часть заведомо не имеет интегрирующего множителя. Условие существования
интегрирующего множителя может быть записано так:
Е rot Е = О,
где Е - вектор с компонентами А, В, С.
Пусть левая часть уравнения (3) имеет интегрирующий множитель, т. е.
превращается по умножении на некоторую функцию в полный дифференциал
некоторой функции F. Тогда уравнение связи интегрируемо и дает
F (х, у, z) = const. (4)
Мы получаем зависимость между координатами. В случае голо-номной связи
уравнение между координатами задано, оно не содержит произвольных
постоянных. Если связь выражается соотношением вида (4), где правая часть
- произвольная постоянная, то мы будем называть систему полую лоно мной
(или семи-голономной).
Неголономные системы - такие, где связи выражаются неикте-грируемыми
уравнениями между дифференциалами координат. Полуголономные системы -
такие, где связи выражаются интегрируемыми уравнениями между
дифференциалами. Такие системы сходны с голономными, но в них имеется по
одной лишней произвольной постоянной на каждое уравнение связи вида (4).
Поясним на самом простом примере, что такое полуголономная система.
Начнем с простого контура с самоиндукцией и конденсатором (рис. 88, а).
Это система с одной степенью свободы. Здесь две произвольные постоянные:
начальный заряд и начальный ток. Рассмотрим теперь контур с двумя
последовательно соединенными конденсаторами (рис. 88, б). Всякий скажет:
здесь тоже одна степень свободы, причем контур содержит емкость С, такую,
что
_1 1 _1_
С2 '
Казалось бы, этот случай не отличается от первого.
Однако он отличается от первого случая: можно один конденсатор зарядить,
а другой нет. Заряды конденсаторов не вполне зависимы, но ток через оба
конденсатора - один и тот же, так как нет накопления электричества на
соединительном проводнике:
Qi = Qr
15*
228
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Вот какова здесь связь. Она накладывается на производные от координат Qj
и Q,, или на их дифференциалы:
dQx - dQ2.
Эту связь можно сразу проинтегрировать:
Ql -¦ Q., = const.
Здесь можно выразить Qx через Q2, и тогда получится одна степень свободы,
но зато появляется произвольная постоянная.
Любое ее значение не противо-Ч) б) речит связи.
Hh
С
1шот)
Рис. 88.
Рис. 89.
Можно подойти к полуголономным системам и с другой стороны. Рассмотрим
чисто голономную систему
/ {х, у, z) = const
й будем давать константе различные значении Ах, At,т. е. будем
рассматривать различные чисто голономные системы. Можно считать, что у
нас одна система, но с лишней произвольной постоянной, т. е.
полугблономная система.
В системе, показанной на рис. 89, если точки закрепления пружин
передвижные, получается лишняя произвольная постоянная.
Остановимся на голономных системах. Самыми удобными уравнениями движения
для них являются уравнения Лагранжа. Они дают то и только то, что нужно.
