Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
рис. 74, и разлагали ее в интеграл Фурье
_ 00
/(О = л/\ J tel (и)cos ut -+- Sz (и) sin Ut) du, (3)
^ о
то мы тоже представляли ее в виде суммы синусоидальных колебаний, каждое
из которых длится от ? =-со до ? = -ьсо. В первом случае был дискретный
спектр, здесь - сплошной. Реальны ли здесь эти синусоидальные
составляющие?
Возьмем наш интеграл Фурье при t<Z 0, когда заведомо f(t) = 0.
Разумеется, там не имеет смысла говорить о существовании синусоидальных
составляющих, но никакого противоречия с (3) нет.
211
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Когда спектр дискретный, можно выделить каждую синусоидальную
составляющую в отдельности. Но в случае непрерывного спектра физически
можно выделить только интервал частот, а не отдельную частоту. Все
физические средства таковы, что могут выделять из (3) только некоторые
континуумы частот. А для t <С 0 любой такой континуум частот дает в сумме
нуль.
Можно доказать, что какой бы мы ни взяли резонатор и как бы мы его ни
настроили, колебание, возникающее в резонаторе, представляется таким
интегралом Фурье, который равняется нулю при f <0, если там f(t)~ О1.
Резонаторы встречаются чрезвычайно часто в качестве инструментов для
исследования процессов. Сюда относятся гальвано-
граф. При сотрясении почвы верхний конец пружины (рис. 80,а) качается.
Можно написать уравнение движения груза в неинер-циальной системе
отсчета, связанной с подставкой. Здесь требуется, чтобы груз по
возможности оставался в покое в инер-циальной системе. Тогда изменения
длины пружины будут игмерять смещения прчвы. Это требование приводит к
тому, что собственный период системы должен быть гораздо больше периода
колебаний почвы, т. е. должно быть
(р-вынуждающая, ш0-собственная частота). Чем больше отношение р/ы'0, тем
правильнее изменения длины пружины воспроизводят колебания почвы.
Совсем иначе обстоит дело в осциллографе. Здесь "подставка'1 (рис. 80,
б)' находится в покое, а смещение "груза" должно быть
] [См. том V, стр. 69 и след.]
Рис. 80.
метр, осциллограф, сейсмограф. Свойства этих регистрирующих аппаратов
хорошо известны. Их следует строить по-разному, в зависимости от
требований, которые к ним предъявляются. Какими точками зрения нужно
руководствоваться при постройке таких приборов?
Возьмем, например, сейсмо-
ДВАДЦАТЬ ПЕРВАЯ ЛЕКЦИЯ
215
подобно действующей на него силе и возможно больше по величине. Таким
образом, здесь предъявляются два требования:
1) чувствительность;
2) отсутствие искажений формы силы.
Эти два требования противоречивы: если чувствительность велика, то
происходят и большие искажения. Это следует прямо из тех свойств
резонаторов, которые мы уже знаем. Большая чувствительность (большое
отклонение под действием заданной силы) достигается при резонансе. Но
если сила не чисто синусоидальная, то - вблизи резонанса на одну из ее
синусоидальных составляющих- различным синусоидальным составляющим
соответствует совершенно различное соотношение отклонения и силы.
Смещение имеет совсем другую форму, чем сила.
Нужно искать компромисс между обоими требованиями.
Пусть мембрана (например, мембрана телефона) колеблется синусообразно с
очень малой амплитудой. Как измерить эту амплитуду? Представим себе, что
на мембране лежит тело массы М. Мы можем написать для него уравнение
движения
где Р-сила, действующая на М со стороны мембраны, F-сумма всех остальных
сил (сюда входит и сила тяжести).
Зная движение мембраны, т. е. функцию x - x(t) и силу F, можно из
уравнения (4) вычислить величину Р. Предположим сначала, что масса М
припаяна к мембране. Если из уравнения (4) получится Р<С 0, это будет
означать, что спай тянет массу М. Пусть теперь М не припаяна, а просто
лежит на мембране. Теперь, если уравнение (4) дает Р<С 0, это будет
означать, что масса отрывается от мембраны.
Найдем, при каких условиях это произойдет.
Пусть F-только сила тяжести. Тогда
Mx=F~t~ Р,
(4)
Мх:= - Mg -+- Р.
Мембрана движется по закону
х - a sin (о/,
(5)
и, следовательно,
Р- - Маю2 sin Ы Mg,
216
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Грузик оторвется от мембраны (Р будет принимать отрицательные значения),
если
Маы2 ^ Mg,
т. е. ускорение мембраны начнет превышать ускорение тяжести. При этом
амплитуда смещения
о >-5-.
Будем постепенно увеличивать амплитуду колебаний мембраны. Пока она мала,
грузик будет двигаться вместе с мембраной. Когда амплитуда возрастет
настолько, что будет выполнено условие (6),
масса начнет подпрыгивать. 7.1 ____ Если на телефонной мембране
О-г гг - - <^222
щт________t-*_________шт. лежит шарик, то при малых
токах все будет спокойно, но -|ljl-(о)-' при увеличении тока в
опреде-
рис gj ленный момент начинается дре-
безжание. Определив момент начала дребезжания, можно, зная ш, вычислить
а. Например, при • 200 сек-1 дребезжание начнется при
981 - ! 0,006 мм.
" - 4- 104
Получается очень чувствительный метод измерения амплитуды.. На это
обратил внимание Брэгг1. Н. Н. Андреев2 использовал только что
