Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
В технике на возможность возбуждения колебаний путем изменения параметров
обратили внимание, повидимому, при постройке электровозов. В электровозе
упругость передающей системы, соединяющей вал мотора с ведущей осью,
периодически меняется. Получаются собственные колебания системы с
переменной упругостью. Многие неудачи произошли от того, что этого раньше
не замечали.
В последнее время явлениями в системах с периодически меняющимися
параметрами стали заниматься в связи с тем, что они позволяют
трансформировать частоты "вниз" (трансформировать частоты "вверх"
сравнительно легко; трансформировать вниз гораздо труднее). С помощью
явлений, о которых мы сейчас говорим, эта задача может быть решена.
В электрических контурах имеется значительное затухание, но теперь мы
имеем средство уменьшать затухание. Это достигается с помощью обратной
связи. Уменьшая затухание, можно сделать явления параметрического
возбуждения гораздо более ярко выраженными.
Посылая ток в катушку с железным сердечником, мы изменяем коэффициент
самоиндукции. Пользуясь этим, можно сравнительно
Рис. 73.
натяжение струны - параметра, от которого зависит частота ее поперечных
колебаний, - периодически меняется. Когда собственная частота поперечных
колебаний струны приблизительно вдвое меньше ча-
ДЕВЯТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
195
просто осуществить контур с периодически меняющейся индуктивностью.
Как происходит раскачивание качелей? На них раскачиваются, периодически
поднимая и опуская свое тело. Это - параметрический резонанс.
Раскачивание возможно только, если есть хотя бы маленький начальный
толчок. Здесь происходит то же явление, как в контуре с конденсатором
переменной емкости, но в более сложном виде.
Есть другой круг вопросов, где мы также приходим к уравнениям с
периодическими коэффициентами, но где нас интересуют не области
нестабильности. Это-вопросы модуляции. Модуляция в радиотелефонии обычно
состоит в том, что амплитуда колебания меняется в темпе звукового
колебания в передаваемом разговоре.
Модулированное колебание, воспринимаемое приемником, имеет в простейшем
случае вид
Е = А0 (1 -+- k cos pt) cos at, или, что то же самое,
Е- А0 COS at а-COS (о) р) t -4- COS (a-+-p)t.
Представление модулированного колебания в виде суммы трех синусоидальных
колебаний целесообразно тогда, когда мы имеем три резонатора, которые
отзываются на частоты а, а- р и а -*-р.
В колебании модулированного передатчика, наряду с линией частоты а,
имеются, таким образом, боковые полосы или боковые спектры. Если мы хотим
сохранить особенности передачи, то мы должны принять не только частоту а,
но и боковые полосы. Они занимают довольно большое место в спектре.
Явилось желание передавать речь, не занимая такую широкую полосу частот.
Рассуждали приблизительно следующим образом: если приемник, обладающий
острым резонансом, слегка расстроить и если с помощью голоса менять
частоту передатчика в темпе звукового колебания, то придется лишь немного
менять частоту передатчика, чтобы ток в приемнике, изменяясь на склоне
резонансной кривой, пульсировал очень сильно. Именно на таких
соображениях основывалось упомянутое ранее "изобретение* Робинсона1.
1 [См. 1-ую лекцию.] 13*
196
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Но дело в том, что чем меньше затухание контура, тем медленнее
устанавливается в нем колебание. Крутизна резонансной кривой имеет смысл
только для установившегося режима. Таким образом, приведенное рассуждение
в корне неправильно.
Для того, чтобы узнать, что происходит в действительности, нужно
разложить колебание, создаваемое передатчиком, в ряд по синусам и
косинусам. В общем случае систем с периодически меняющимся параметром это
довольно сложно, но в данном случае есть одно облегчающее обстоятельство.
Нас интересует случай, когда частота модуляции р гораздо меньше, чем <о.
А. А. Андронов и М. А. Леонтович нашли для этого случая асимптотическое
решение1. При р-* 0 общее решение уравнения (10) стремится к такому:
х = С ("Q-t- a^cos pt) 1,4 cos ( j cos pt dt-+- b j ,
(11)
где С и b¦-произвольные постоянные.
То, что при периодическом изменении емкости меняется и амплитуда, имеет
принципиальное значение2. Однако практически малые изменения амплитуды не
играют роли, и мы можем написать с известным приближением, при достаточно
малом а0:
х = С cos -+- а2 cos pt dt -+- b^j . (12)
Можно ли сказать, что (10) представляет собой косинусообразное колебание
с переменными амплитудой и частотой? Не вводя нового представления,
говорить о косинусообразном колебании с переменной амплитудой и
переменной частотой бессмысленно. Косинусообразное колебание определено,
как колебание вида
A cos (<o# -+- 9), (13)
с постоянными А, и 9. Но при достаточно медленном изменении величины А со
временем может случиться, что если мы найдем решение какой-нибудь задачи
для постоянного А и подставим в это готовое решение, вместо постоянного
А, переменное А,
1 [Журнал Русского физико-химического общества, 1927, 59, 429.]
