Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
разобранное явление для построения измерительного прибора - "молоточка".
Пусть, когда мембрана покоится (рис. 81), молоточек отклонен, ею на
расстояние х0 от своего положения равновесия, которое он занимал бы в
отсутствие мембраны. При колебаниях мембраны имеем
Мх - ¦- к (х0 + i) + P,
где к - упругость пружины молоточка, х - смещение мембраны. Подставляя
сюда (5), получаем следующее значение амплитуды, при которой начинается
дребезжание (т. е. Р начинает принимать-отрицательные значения):
2 *0, (7)
(<)2 - О)?
1 [Engineering, 1918.]
2 [Н. Н. Андреев. Журн. прикл. физ., 2 , 205, 1925.]
ДВАДЦАТЬ ПЕРВАЯ ЛЕКЦИЯ
217
где
, к
М" М
¦--собственная частота молоточка. Если
(язычок с большим собственным периодом), то вместо (7) можно написать
приближенно
-2о
Q:=='^xo-
Изменяя х0 с помощью микрометрического винта и замечая начало
дребезжания, можно отсюда найти а. Таким образом можно измерять амплитуды
механических колебаний. Для того, чтобы прибор был возможно более
чувствительным, нужно, чтобы отношение <о0'ш было возможно меньше. Начало
дребезжания (отрыва молоточка от мембраны) можно услышать в телефон (рис.
81). В этот момент начинается прерывание контакта.
Сделав (о0/ы - 0,01, получаем в момент отрыва а = 10~1х0. Если отрыв
наступает при х0 = 1 мм, то а =10"* мм. Получается чрезвычайно
чувствительный прибор. Для амплитуд порядка 10~4 мм теория еще хороша, но
дальше начинаются неприятности. Теория предполагает, что молоточек просто
лежит на мембране, не приставая к ней. В действительности он к ней как бы
"чуть-чуть припаян".
Что здесь поучительно? Большая чувствительность достигается благодаря
тому, что при колебательных процессах ускорение чрезвычайно быстро растет
с частотой (если амплитуда смещения задана). Из (5) имеем:
X ша -('Та.
При больших частотах это ведет к колоссальным ускорениям, даже при
ничтожных смещениях.
Например, пьезокварцевая пластинка колеблется с амплитудой смещения всего
лишь 10-8 см, но с частотой 10е сек-1. Получается максимальное ускорение
Хта*=4** ю12 • 10-6 да 4 • 10* g.
Положим массу М на поперечно колеблющийся пьезокварцевый стержень (рис.
82). Что будет с собственным периодом?"
'218
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Казалось бы, колебания должны замедляться и собственный период должен
увеличиваться. В действительности может оказаться, что М совершенно не
повлияет на период, потому что при том ускорении, которое имеет
пьезокварц, она остается на месте. Пусть М= 0,1 г. При а = 10~6 см, v =
106 сек-1 для того, чтобы ее увлечь, нужна сила
При М = 1 г нужна была бы сила в 400 кг. Это--колоссальные силы, и для
того, чтобы их создать, силы трения не хватает. Прак-
тически масса остается в покое, и ее присутствие не влияет на собственную
частоту; оно только увеличивает затухание.
Благодаря огромным ускорениям, можно получать при механических колебаниях
высокой частоты "феноменальные" явления. Этот вопрос еще мало разработан.
Часто возникает такой вопрос: как движется маятник, если движется его
точка подвеса (например,
Рис. 82. вместе с Землей)? Механика учит, как решать такие
вопросы. Здесь нет никаких принципиальных трудностей.
Можно поставить аналогичный вопрос для электрических систем. Как ведут
себя электрические системы, если они находятся в движении? На этот вопрос
ответить не так просто. Механика не переносится сюда непосредственно.
Рассмотрим, например, электрическую цепь, двгжущуюся ускоренно (рис. 83).
Как написать для этого случая уравнение для тока?
Начнем с обычного уравнения для тока
и постараемся обосновать это уравнение. Ток в проводнике есть движение
заряженных частиц--электронов. Пусть N-число электронов на единицу длины
провода, х - средняя скорость их упорядоченного движения. Тогда
Мхп^=М-А- 104? = 0,1 • 4 • 101 • 103 4 кг.
(В)
Nex - г,
(9)
где е - абсолютное значение заряда электрона. Что представляет собой с
этой точки зрения индуктивность L? Казалось бы, это не что иное, как
масса электронов, т. е. L получается вследствие
ДВАДЦА ТВ ПЕРВАЯ ЛЕКЦИЯ
219
инерции электронов. Но это не так. Если бы это было так, то задача о токе
была бы механической задачей о движении электронов. Дело в том, что L не
определяется суммой масс электронов и в этом заключается глубокое отличие
от механики, где общая масса системы есть сумма масс составляющих ее
частиц:
М--
т,
В электродинамике кинетическая энергия - это магнитная энергия движущихся
электронов. Магнитная энергия есть квадратичная функция от напряженности
поля. Поля отдельных электронов суммируются, но отнюдь не энергии: помимо
членов, определяемых отдельными электронами, в выражении для энергии
имеются еще члены взаимодействия. Индук- | тивность контура обусловлена
именно этой взаимной магнитной энергией, намного превышающей сумму масс
всех электронов. Но вернемся к вопросу об уравнении для тока в ускоренно
движущейся цепи.
Электроны имеют собственные массы. Будем считать, что скорости электронов
