Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мандельштам Л.И. -> "Лекции по колебаниям" -> 66

Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.

Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям — Академия наук СССР, 1955. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipokolebaniyam1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 160 >> Следующая

Сг и С2. Последний член вместе с его производной проца-дает при i = t0.
Как сказано, решение (15) годно "на все случаи 14 Л. И. Мандельштам, том
IV
х = е 6/(C1cos(0|i-+-C2 sinw?)-+-~- J е6?/(?) sin "(t - (15)
где
210
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
жизни", но в случае синусоидальной силы пользоваться им нецелесообразно.
Мы не будем дискутировать решение (15) в общем виде, а рассмотрим только
тот частный случай, когда вначале (7 = ?0 = 0) осциллатор не смещен и
находится в покое. При этом С1 = С2 -0 и
t
х = ПТ-1 е6'/(c) sin t0 ^ - (16)
о
Пусть f(t) представляет собой импульс, действующий в течение промежутка
времени (О, Т). Пусть на протяжении всего-импульса сила f(t)
положительна. Обработаем решение (16) так, чтобы легко было дать ответ на
интересующий нас вопрос: как ведет себя осциллатор после того, как
подействовал очень кратковременный импульс. Так как при Т имеем /($)== 0,
то можно написать, вместо (16), для t^>T:
т
х - ~- J e55/(S)sin <o(t - c,)dc. (17)
о
По теореме о среднем, поскольку /(?)>0, имеем:
т
х = ^ emsin <0 (f - 6 Г) j /(9 d\ (0 < 6 < 1). (18)
о
Нас интересует случай, когда длительность импульса мала по сравнению с
периодом т: 77т <^1, т. е. и>Т и, следовательно,
ыеГ<2т:. (19)
Обозначив
т
I=\f(r)dl, (20)
о
мы получаем приближенно для этого случая на основании (18)-(20):
х - 1--sinwf. (21)
(0 47
Посмотрим теперь, что это значит физически. / есть импульс силы. Если
система такова, что продолжительность действия силы f(t) мала^по
сравнению с периодом т, то вид функции f(t)
ДВАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
211
не имеет значения; важен только импульс силы. Этот результат очень важен
для построения измерительных устройств. Пусть система, обладающая
определенным периодом (например, маятник), получает удар. Каково
максимальное отклонение?
Из (21) получаем (если В<^м0):
•Ятах-
I
СО
(22)
Наблюдая максимальное отклонение, можно сразу определить импульс силы.
Возьмем для примера баллистический маятник (рис. 78). Пусть т - масса
снаряда, М-масса маятника, причем т<^М.
Снаряд застревает в маятнике. Тогда
/= mv,
где v--скорость снаряда.
На основании (20) и (22), вспомнив, что "сила" f(t) в уравнении (1) была
в действительности сила, деленная на массу, мы получаем для максимального
отклонения маятника значение
й
Л шах --
Мы
Рис. 78.
Зная т, ы, М и измерив Хшах, можно узнать v.
Аналогично обстоит дело в баллистическом гальванометре. Здесь вращающий
момент пропорционален силе тока:
(r) -ь 2-+- Ырф - а/
(ф - угол отклонения; i---сила тока). При токах малой продолжительности
(продолжительность тока мала по сравнению с периодом собственных
колебаний) максимальное отклонение пропорционально
Q- j idt,
т. е. количеству электричества, прошедшему через прибор.
При выводе соотношения (18) мы сделали предположение, что f(t) не меняет
знака. Но от этого предположения можно 14*
212
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
освободиться. Формула (18) справедлива и при знакопеременной
кратковременной силе. Для того, чтобы это доказать, нужно
представить знакопеременную f(t) как чередование знакопостоянных сил
(рис. 79).
Мы рассмотрели случай кратковре-^ менной силы. Другой важный случай--тот,
когда сила меняется очень медленно.
Что значит "очень медленное*1 нарастание силы? Дать точную формулировку
здесь труднее, чем для кратковременной силы. Ясно одно: если бы было
f(t) = /о = const, то мы имели бы статическое отклонение
Х=Аг.
Если f(t) изменяется достаточно медленно, то с достаточным приближением
решение будет квазистатическим, т. е. таким
f(J)
4
(23)
м"
Для того, чтобы это показать, преобразуем формулу (16) посредством
интегрирования по частям:
t
-М Г d cos (О (f - S)
0)
о
t
f (t)
j e*№-
j
(здесь принято во внимание, что /(0) = 0). Пренебрегая затуханием,
получаем:
Щ
("I
( /'(0 COS <o0(f-;)</;.
"2 J
Получилось статическое отклонение (23) -+- поправка, которая тем меньше,
чем меньше /(#), т. е. чем медленнее меняется сила. Этой
ДВАДЦА ТЬ ПЕРВАЯ ЛЕКЦИЯ
213
поправкой можно пренебречь, если сила меняется достаточно медленно по
отношению к периоду собственных колебаний.
ДВАДЦАТЬ ПЕРВАЯ ЛЕКЦИЯ
(18/1 1931 г.)
Реальность синусообразных слагаемых в интеграле Фурье. Применения
гармонических резонаторов в регистрирующих приборах. "Молоточек" Н. Н.
Андреева. Ток в ускоренно движущемся электрическом контуре; инерция
электронов. Аналогия в вопросах колебаний.
Я хочу ответить сначала на записку. В ней поставлен разумный и интересный
вопрос. Он касается физического смысла разложения в интеграл Фурье.
Когда мы разлагали
(1 -+- k cos pt) cos E>t (1)
на три синусоидальные составляющие, то на вопрос об их реальности мы
отвечали следующим образом. Представление (1) и представление
k k
COS (1)^-1-у COS ((О-p)t-+-~2 COS (h>-A-p)t (2)
это (на основании тригонометрии)-одно и то же. Каждое из трех колебаний
(2) можно выделить резонатором.
Когда же мы имели дело с непериодической функцией такого типа, как на
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed