Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
ДВАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
(75/1 7937 г.)
Интеграл Фурье. Разложение в интеграл Фурье отрезка синусоиды.
Несовместимость монохроматичности и концентрированности сигнала. Аналогия
с соотношением неопределенностей в волновой механике. Рассмотрение
действия произвольной внешней силы на гармонический осциллатор без
разложения в спектр.
Мы рассматривали действие периодической силы на линейную колебательную
систему с одной степенью свободы1. Повторяющиеся импульсы (рис. 62)
физически полностью подходят под случай периодической силы. Нового
математического аппарата здесь не нужно. Но сигналом может быть только не
повторяющееся периодически воздействие. Периодическое воздействие-это не
сигнал.
В конечном интервале можно разложить в ряд Фурье функцию, изображающую
любое воздействие. Но вне этого интервала функция, представленная рядом,
периодически повторяется. Если мы возьмем на оси t очень большой интервал
и разложим функцию, изображающую воздействие в ряд Фурье в этом
интервале, то
1 [См. 16-ую лекцию.]
ДВАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
201
функция, представляемая рядом, будет повторяться бесконечное число раз,
но через очень большие интервалы. Если интервал разложения достаточно
велик, то физически совершенно безразлично, что было раньше начала этого
интервала и что будет после его конца. Поэтому мы можем искусственно
заменить интересующий нас сигнал периодически повторяющейся силой,
представленной рядом Фурье.
Что значит здесь "достаточно большой интервал времени"? Нужно, чтобы к
началу реального сигнала успело давно затухнуть то, что дал бы предыдущий
искусственный сигнал. Поэтому, чем меньше затухание воспринимающего
устройства, тем больше должен быть интервал.
Уравнение движения осциллатора под действием произвольной внешней силы
имеет вид
х -+- 2?>х -+- (ОдХ = /(l). (1)
Пусть сила /(1) отлична от нуля лишь на протяжении конечного промежутка
времени, начиная с 1 = 0 (рис. 74). Здесь начальные условия: х = 0, х = 0
при 1 = 0. Разложим силу в ряд Фурье за достаточно большой (по сравнению
с 1/S) промежуток времени и возьмем периодическое решение уравнения (1),
являющееся суммой периодических вынужденных колебаний, соответствующих
всем членам разложения Фурье. Решение удовлетворяет вполне определенным
начальным условиям, так как не содержит произвольных постоянных. Можно
показать, что это как раз начальные условия 1 = 0, х = 0, х = 0. Таким
путем мы получаем то, что нам нужно. Физически ясно, почему это так. В
течение всего бесконечного времени никакие силы, кроме /(1), на
осциллатор не действуют. Разложение в ряд Фурье приводит к замене /(1)
периодической функцией. Так как промежутки, на протяжении которых эта
периодическая функция равна нулю, велики по сравнению со временем
затухания осциллатора, периодическое решение спадает до нуля к концу этих
промежутков, в частности к моменту 1 = 0.
Итак, решение в виде ряда Фурье является решением задачи с определенными
начальными условиями. К нему можно прибавить собственные колебания и
удовлетворить таким образом любым начальным условиям.
'202
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Можно решить задачу иначе: не представляя силы в виде ряда Фурье и
учитывая явно начальные условия1. Часто это целесообразнее. Оба способа
дают принципиально одно и то же.
Остановлюсь на вопросе, имеющем принципиальное значение, хотя практически
он может быть обойден. Можно ли для любой непериодической функции найти
разложение, аналогичное ряду Фурье для периодической функции (т. е.
разложение на синусы и косинусы), представляющее функцию на всем
бесконечном интервале?
Мы рассмотрим вопрос эвристически. Математическое доказательство мы
оставим в стороне.
Мы писали ряд Фурье в таком виде:
СО
/(*)= -'2 _+" 2 (ак cos bk sin (2)
1е== 1
Н-ж/ш +к{ш
afc=-^ J /(c)cosb^, Ьк = ^- { WslntoW, (3)
-тс/ш -я/ш
<и = -уг, где Т-период функции f(t). Можно переписать ряд Фурье немного
иначе, обозначив
Мы получаем тогда:
СО
f(t) = ч-1/§ 'S (<"ак cos Ш ч- иЬ'ь sin Ш).
fc=i
Посмотрим теперь, что получится, если переходить к пределу
(О-"0, Т -*• оо.
Напишем:
к<о = иц, <" = Дц {к= 1,2,3,...) (5)
'^Ди есть разность двух последовательных значений uf). Тогда
СО
fit)=y+i/-i2iu^cosB^+b'k sin ^
lc=l
1 [См. ниже формулу (15).]
ДВАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
203
При <о-"0 интервалы 1ц сужаются. Если о>->0, то мы можем "ожидать, что
сумма в (6) превратится в интеграл.
Для разложимости в ряд Фурье функция f(t) должна быть всюду ограничена и
изображающая ее кривая должна разбиваться на конечное число непрерывных
кусков. Теперь, при <о-"-0, мы должны еще сказать, как ведет себя функция
f(t) в бесконечности. Потребуем, чтобы
+ Т/ 2
> f 1/(01
7->оэ _г/2
был конечной величиной, т. е. чтобы функция f(t) была абсолютно
интегрируемой. В этом случае при <о->0 имеем:
ц0->0.
Коэффициенты ак и Ь'к(к=^= 0) мы можем представить, подставляя (3) и (5)
в (4), в виде функции от ц:
+ Т/2 + Т/2
"'(")= ^ j m COS иЫЪ 6'(ы)=^= [ /(c)sinufr(c)
