Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
ш о+лр
Хг=-]J sin2 <pdp. (И)
Но согласно (4)
ctg<
ш0- Ар
("о ~*~р) (ш0 -р) 2Ьр
или приближенно, при§<^(
'о"
180
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
откуда
а?9 __________ dp
sin2 9 8
(12)
На основании (12) мы можем переписать (11) в таком виде:
Таким образом, энергия от помех увеличивается с уменьшением
степени. Согласно же (8) энергия от регулярного сигнала частоты р = <о0
растет обратно пропорционально §2. Отношение
Отсюда видно, что для уменьшения относительной энергии помех нужно
уменьшать логарифмический декремент контура.
Заметим, что в случае помех поглощаемая мощность не зависит от
коэффициента затухания.
Когда мы уменьшаем затухание, оставляя постоянными % и р, то действие
колебаний любой частоты увеличивается, но неодинаково. Действие колебаний
той частоты, на которую контур настроен, возрастает гораздо больше, чем
действие колебаний с частотами, далекими от резонанса. Этим и объясняется
уменьшение отношения энергии помех к энергии сигнала при уменьшении
затухания.
Представление энергии помех в виде
связано с теоремой Релея в теории интеграла Фурье1.
На этом мы закончим изучение резонанса. Хотя мы рассмотрели резонанс в
простейшей системе, мы затронули все же ряд вопросов, которыми нужно
хорошо владеть. До сих пор в этих вопросах делаются грубые ошибки.
Возьмем, например, Флеминга. Это -крупный радиоспециалист, член
Королевского общества (английской Академии наук). Его
о
коэффициента затухания § обратно пропорционально его первой
энергия помех
= тс X = const • X = const • d.
энергия регул, сигнала
00
о
1 [См., например, Титчмарш. Введение в теорию интегралов Фурье. М.-Л.,
1941.]
ВОСЕМНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
181
книга "Волны в воде, воздухе и эфире" - в общем неплохая, там есть много
интересных сведений. Но по поводу резонанса там имеется явный вздор.
Говорится, например, что мальчик, стреляя из рогатки, может разрушить
железнодорожный мост через Темзу. Это невозможно из-за затухания.
ВОСЕМНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
(5/1 1931 г.)
Уравнение колебаний маятника с горизонтально и вертикально колеблющейся
точкой подвеса. Контур с периодически меняющейся емкостью. Теория
линейного дифференциального уравнения второго порядка с периодическими
коэффициентами.
Рассмотрим движение маятника, точка подвеса которого совершает заданное
гармоническое колебание относительно инерциаль-ной системы отсчета х1У
zx.
Предположим сначала, что точка подвеса колеблется горизонтально (рис.
65). Пусть
х0 = а cos pt
есть координата точки подвеса в системе отсчета д^, Напишем уравнение
движения в неинерциальной системе отсчета х, z, в которой точка подвеса
маятника покоится. Здесь нужно ввести силу инерции (-тх0), направленную
по оси х, и уравнение движения таково:
/<р ==-mglsin 9 - тх0 cos<p, (1)
где /-момент инерции маятника, <р - угол отклонения, т - масса, I -
длина, причем
/=ш/2.
При достаточно малых колебаниях можно считать приближенно,
что
sin<p = <p, cos<p = l, и уравнение (1) принимает вид
<р = - = - ^j-cospt. (2)
182
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Это - уравнение вынужденных колебаний; маятник движется так же, как под
действием заданной синусоидальной внешней силы.
Пусть теперь точка подвеса колеблется вертикально (рис. 66):
z0 = a cos pt.
Напишем и для этого случая уравнение движения в неинерциаль-ной системе
отсчета, относительно которой точка подвеса покоится.
Рис. 65. Рис. 66.
Теперь сила инерции (-mz0) направлена по оси z, и уравнение движения
таково:
/<р = -mgl sin <р - mz0 T&qs <р, или приближенно, при малых <р,
?"-н^?Р? = 0.
Подставляя сюда zQ, получаем:
?-+- apicospt)f=0. (3)
Это - уравнение совсем другого типа, чем (2). Система здесь также
неавтономна, но нет периодической внешней силы: от времени зависит
коэффициент при <р.
Рассмотрим еще один пример: колебательный контур, в котором емкость
конденсатора периодически меняется со временем.
ВОСЕМНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
183
Будем считать, что конденсатор плоский и что расстояние d между
пластинами меняется синусоидально:
d = d0 (1 -t- к cos pt).
Емкость равна
С- -
где S-площадь пластин. Заряд на конденсаторе q удовлетворяет,
следовательно, уравнению
Lq ч- Rq н- (1 к cos pt) q = 0.
Получилось уравнение того же типа, что и (3).
В последнее время физики заинтересовались задачами, приводящими к
линейным уравнениям с периодическими коэффициентами. Такие задачи
встречаются в небесной механике, в машиностроении (электровозы)1, в
теории твердого тела (вследствие периодичности кристаллической решетки
потенциальная энергия электрона есть периодическая функция координат).
В этой лекции мы познакомимся с математической теорией линейных уравнений
с периодическими коэффициентами вида
= (4)
причем рг (f) и р2 (t) - периодические функции периода т:
Pi (t + K) = Pi (t); p2(t-*-r)=p2(t).
Уравнение (3) является частным случаем уравнения вида (4). Будем считать,
что уравнение (4) удовлетворяет условию Коши- Липшица и что,
следовательно, существует решение, и притом единственное, удовлетворяющее
