Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
\ = ах -+- iblt ~k2=a2-+-ib2.
В зависимости от того, каковы значения параметров, входящих в уравнение,
действительные части аг и а2 могут быть отрицательными, равными нулю или
положительными. Вообще говоря, и 12 различны. В том специальном случае,
когда они равны, имеется частное решение вида
*еХ'Ф(*),
где Ф(?) - периодическая функция периода т = 2ъ/р.
То, что Сх и С2 входят в решение линейно, типично для линейных уравнений.
Если х = 0 и л = 0 при t = 0, то С1 = 0 и С2 - 0. В этом случае х
остается равным нулю при любом t. Таким обра-
192
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
зом, здесь совершенно другое положение, чем при обычном резонансе: если
система в начале была в равновесии, то она остается в равновесии и в
дальнейшем.
Но что будет с системой, если в начальный момент она не находится в
равновесии? Все зависит от того, каковы аг и аг.
Если обе эти величины отрицательны, то со временем амплитуда величины х
убывает. При таком подборе значений параметров система совершает
затухающее колебание.
Если М, 2 -¦ чисто мнимые, то решения периодические или почти
периодические.
Если величина аг положительна, то (за исключением случая, когда Сг = 0 и
а2<С0) амплитуда величины х все больше и больше возрастает.
Итак, положение равновесия всегда имеется, но равновесие может быть как
устойчивым, так и неустойчивым. В последнем случае система, будучи
выведена из состояния равновесия, автоматически себя раскачивает. Это
свойство - рост колебаний - придает всему явлению характер резонанса. Мы
говорим при этом о параметрическом возбуждении или о параметрическом
резонансе.
При каких условиях наступает раскачивание, не так просто поддается
вычислению. Физически дело сводится, грубо говоря, к следующему:
возрастание колебаний происходит тогда, когда подобран правильный темп
изменения параметра.
Возьмите конденсаторную цепь. Будем менять емкость скачками. Пусть в
некоторый начальный момент имеется маленький заряд <7 = <70, а тока нет
(q-О). Раздвинем в этот момент пластины конденсатора. Мы затрачиваем на
это некоторую работу. Через Vi периода заряд обращается в нуль, и в этот
момент мы сведем пластины до прежнего расстояния. При этом никакой работы
не совершается. Через !/г периода после начала опять имеется заряд, и мы
снова разводим пластины, совершая работу; через 3/4 периода мы опять их
сводим, и т. д. Затрачиваемая нами работа должна увеличить запас
электромагнитной энергии в контуре. Отсюда видно, что если раздвигать и
сдвигать пластины с периодом, вдвое меньшим, чем средний собственный
период контура, то непременно наступает раскачивание. Это - частный
случай, его трудно вполне точно осуществить на практике. Но здесь ясно,
как и почему происходит раскачивание. Что будет в остальных случаях, "на
пальцах" показать довольно трудно.
ДЕВЯТНАДЦА ТАЯ ЛЕКЦИЯ
193
На этот вопрос дает ответ график (рис. 71), построенный для уравнения
(10). В заштрихованной части плоскости есть нарастание колебаний, в
незаштрихованной части нарастания нет.
Пусть относительная амплитуда изменения параметров постоянна:
ап
-- = const.
ш0
Будем менять только частоту изменения параметра р. Первая область
нарастания колебаний соответствует частоте изменения
параметров, приблизительно вдвое большей, чем частота собственных
колебаний. Во второй области частота собственных колебаний и частота
изменения параметров приблизительно равны. В третьей области частота р
приблизительно в полтора раза меньше собственной и т. п. Таких областей
нестабильности оказывается бесконечно много.
С увеличением относительной амплитуды изменения параметра ширина каждой
области частот р, в которой происходит нарастание, увеличивается.
Итак, мы видим, что явление параметрического резонанса существенно
отличается от обычного резонанса. Отличие состоит в том, что:
1. Если система находится строго в положении равновесия, то при
периодическом изменении параметра она не раскачивается.
2. Несмотря на то, что воздействие косинусообразно, существует бесконечно
много областей параметрического резонанса, и притом именно областей, а не
точек.
Наличие затухания смазывает явление. Оно вызывает появление порога
возбуждения (рис. 72). Области нестабильности,
13 Л. И. Мандельштам, том IV,
194
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
соответствующие все меньшим отношениям pjы0, начинаются все выше и выше.
Поэтому очень трудно получить на практике далекие области возбуждения.
Из линейности уравнения следует, что и при наличии трения (если оно
линейно) в областях нестабильности имеет место бесконечное нарастание.
Как и всегда, при наличии нестабильности линейное уравнение недостаточно
для описания всего хода явления. Оно не дает установления колебания.
Установление стационарной амплитуды возможно только вследствие
нелинейности.
Иллюстрацией явления параметрического резонанса является известный опыт
Мельде (рис. 73). Когда камертон колеблется,
стоты камертона, происходит возбуждение этих колебаний.
